MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfcprod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfcprod 14566
Description: Bound-variable hypothesis builder for product: if 𝑥 is (effectively) not free in 𝐴 and 𝐵, it is not free in 𝑘𝐴𝐵. (Contributed by Scott Fenton, 1-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
nfcprod.1 𝑥𝐴
nfcprod.2 𝑥𝐵
Assertion
Ref Expression
nfcprod 𝑥𝑘𝐴 𝐵
Distinct variable group:   𝑥,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem nfcprod
Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-prod 14561 . 2 𝑘𝐴 𝐵 = (℩𝑦(∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑧) ∧ seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵))‘𝑚))))
2 nfcv 2761 . . . . 5 𝑥
3 nfcprod.1 . . . . . . 7 𝑥𝐴
4 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑥(ℤ𝑚)
53, 4nfss 3576 . . . . . 6 𝑥 𝐴 ⊆ (ℤ𝑚)
6 nfv 1840 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑧 ≠ 0
7 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑛
8 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ·
93nfcri 2755 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 𝑘𝐴
10 nfcprod.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐵
11 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥1
129, 10, 11nfif 4087 . . . . . . . . . . . 12 𝑥if(𝑘𝐴, 𝐵, 1)
132, 12nfmpt 4706 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
147, 8, 13nfseq 12751 . . . . . . . . . 10 𝑥seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1)))
15 nfcv 2761 . . . . . . . . . 10 𝑥
16 nfcv 2761 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑧
1714, 15, 16nfbr 4659 . . . . . . . . 9 𝑥seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑧
186, 17nfan 1825 . . . . . . . 8 𝑥(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑧)
1918nfex 2151 . . . . . . 7 𝑥𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑧)
204, 19nfrex 3001 . . . . . 6 𝑥𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑧)
21 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑥𝑚
2221, 8, 13nfseq 12751 . . . . . . 7 𝑥seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1)))
23 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑥𝑦
2422, 15, 23nfbr 4659 . . . . . 6 𝑥seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦
255, 20, 24nf3an 1828 . . . . 5 𝑥(𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑧) ∧ seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)
262, 25nfrex 3001 . . . 4 𝑥𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑧) ∧ seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)
27 nfcv 2761 . . . . 5 𝑥
28 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑥𝑓
29 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑥(1...𝑚)
3028, 29, 3nff1o 6092 . . . . . . 7 𝑥 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴
31 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝑓𝑛)
3231, 10nfcsb 3532 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑓𝑛) / 𝑘𝐵
3327, 32nfmpt 4706 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵)
3411, 8, 33nfseq 12751 . . . . . . . . 9 𝑥seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵))
3534, 21nffv 6155 . . . . . . . 8 𝑥(seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵))‘𝑚)
3635nfeq2 2776 . . . . . . 7 𝑥 𝑦 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵))‘𝑚)
3730, 36nfan 1825 . . . . . 6 𝑥(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵))‘𝑚))
3837nfex 2151 . . . . 5 𝑥𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵))‘𝑚))
3927, 38nfrex 3001 . . . 4 𝑥𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵))‘𝑚))
4026, 39nfor 1831 . . 3 𝑥(∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑧) ∧ seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵))‘𝑚)))
4140nfiota 5814 . 2 𝑥(℩𝑦(∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑧(𝑧 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑧) ∧ seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵))‘𝑚))))
421, 41nfcxfr 2759 1 𝑥𝑘𝐴 𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wnfc 2748  wne 2790  wrex 2908  csb 3514  wss 3555  ifcif 4058   class class class wbr 4613  cmpt 4673  cio 5808  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   · cmul 9885  cn 10964  cz 11321  cuz 11631  ...cfz 12268  seqcseq 12741  cli 14149  cprod 14560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-seq 12742  df-prod 14561
This theorem is referenced by:  fprod2dlem  14635  fprodcom2  14639  fprodcom2OLD  14640  fprodcn  39233  fprodcncf  39415
  Copyright terms: Public domain W3C validator