MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfcprod1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfcprod1 14565
Description: Bound-variable hypothesis builder for product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
nfcprod1.1 𝑘𝐴
Assertion
Ref Expression
nfcprod1 𝑘𝑘𝐴 𝐵
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem nfcprod1
Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-prod 14561 . 2 𝑘𝐴 𝐵 = (℩𝑥(∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑥) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵))‘𝑚))))
2 nfcv 2761 . . . . 5 𝑘
3 nfcprod1.1 . . . . . . 7 𝑘𝐴
4 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑘(ℤ𝑚)
53, 4nfss 3576 . . . . . 6 𝑘 𝐴 ⊆ (ℤ𝑚)
6 nfv 1840 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑦 ≠ 0
7 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑛
8 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑘 ·
9 nfmpt1 4707 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
107, 8, 9nfseq 12751 . . . . . . . . . 10 𝑘seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1)))
11 nfcv 2761 . . . . . . . . . 10 𝑘
12 nfcv 2761 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑦
1310, 11, 12nfbr 4659 . . . . . . . . 9 𝑘seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦
146, 13nfan 1825 . . . . . . . 8 𝑘(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)
1514nfex 2151 . . . . . . 7 𝑘𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)
164, 15nfrex 3001 . . . . . 6 𝑘𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)
17 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑘𝑚
1817, 8, 9nfseq 12751 . . . . . . 7 𝑘seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1)))
19 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑘𝑥
2018, 11, 19nfbr 4659 . . . . . 6 𝑘seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑥
215, 16, 20nf3an 1828 . . . . 5 𝑘(𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑥)
222, 21nfrex 3001 . . . 4 𝑘𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑥)
23 nfcv 2761 . . . . 5 𝑘
24 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑘𝑓
25 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑘(1...𝑚)
2624, 25, 3nff1o 6092 . . . . . . 7 𝑘 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴
27 nfcv 2761 . . . . . . . . . 10 𝑘1
28 nfcsb1v 3530 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝑓𝑛) / 𝑘𝐵
2923, 28nfmpt 4706 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵)
3027, 8, 29nfseq 12751 . . . . . . . . 9 𝑘seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵))
3130, 17nffv 6155 . . . . . . . 8 𝑘(seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵))‘𝑚)
3231nfeq2 2776 . . . . . . 7 𝑘 𝑥 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵))‘𝑚)
3326, 32nfan 1825 . . . . . 6 𝑘(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵))‘𝑚))
3433nfex 2151 . . . . 5 𝑘𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵))‘𝑚))
3523, 34nfrex 3001 . . . 4 𝑘𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵))‘𝑚))
3622, 35nfor 1831 . . 3 𝑘(∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑥) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵))‘𝑚)))
3736nfiota 5814 . 2 𝑘(℩𝑥(∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑥) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵))‘𝑚))))
381, 37nfcxfr 2759 1 𝑘𝑘𝐴 𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wnfc 2748  wne 2790  wrex 2908  csb 3514  wss 3555  ifcif 4058   class class class wbr 4613  cmpt 4673  cio 5808  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   · cmul 9885  cn 10964  cz 11321  cuz 11631  ...cfz 12268  seqcseq 12741  cli 14149  cprod 14560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-seq 12742  df-prod 14561
This theorem is referenced by:  fprodcn  39236  dvmptfprod  39466  vonicc  40206
  Copyright terms: Public domain W3C validator