Theorem nfile 40285

Description: The size of any infinite set is always greater than or equal to the the size of any set. (Contributed by AV, 13-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nfile	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐴) ≤ (#‘𝐵))

Proof of Theorem nfile

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashxrcl 12871	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (#‘𝐴) ∈ ℝ*)
2		pnfge 11707	. . . 4 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ℝ* → (#‘𝐴) ≤ +∞)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (#‘𝐴) ≤ +∞)
4	3	3ad2ant1 1074	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐴) ≤ +∞)
5		hashinf 12848	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐵) = +∞)
6	5	3adant1 1071	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐵) = +∞)
7	4, 6	breqtrrd 4509	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐴) ≤ (#‘𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1030   = wceq 1474   ∈ wcel 1938   class class class wbr 4481  ‘cfv 5689  Fincfn 7715  +∞cpnf 9824  ℝ^*cxr 9826   ≤ cle 9828  #chash 12843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6721  ax-cnex 9745  ax-resscn 9746  ax-1cn 9747  ax-icn 9748  ax-addcl 9749  ax-addrcl 9750  ax-mulcl 9751  ax-mulrcl 9752  ax-mulcom 9753  ax-addass 9754  ax-mulass 9755  ax-distr 9756  ax-i2m1 9757  ax-1ne0 9758  ax-1rid 9759  ax-rnegex 9760  ax-rrecex 9761  ax-cnre 9762  ax-pre-lttri 9763  ax-pre-lttrn 9764  ax-pre-ltadd 9765  ax-pre-mulgt0 9766

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6832  df-wrecs 7167  df-recs 7229  df-rdg 7267  df-er 7503  df-en 7716  df-dom 7717  df-sdom 7718  df-fin 7719  df-card 8522  df-pnf 9829  df-mnf 9830  df-xr 9831  df-ltxr 9832  df-le 9833  df-sub 10017  df-neg 10018  df-nn 10774  df-n0 11046  df-z 11117  df-uz 11424  df-hash 12844

This theorem is referenced by:  sizusglecusg  40770