MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfimdetndef Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfimdetndef 20335
Description: The determinant is not defined for an infinite matrix. (Contributed by AV, 27-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
nfimdetndef.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
Assertion
Ref Expression
nfimdetndef (𝑁 ∉ Fin → 𝐷 = ∅)

Proof of Theorem nfimdetndef
Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfimdetndef.d . . 3 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2 eqid 2621 . . 3 (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
3 eqid 2621 . . 3 (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
4 eqid 2621 . . 3 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5 eqid 2621 . . 3 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
6 eqid 2621 . . 3 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
7 eqid 2621 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
8 eqid 2621 . . 3 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mdetfval 20332 . 2 𝐷 = (𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥)))))))
10 df-nel 2894 . . . . . . 7 (𝑁 ∉ Fin ↔ ¬ 𝑁 ∈ Fin)
1110biimpi 206 . . . . . 6 (𝑁 ∉ Fin → ¬ 𝑁 ∈ Fin)
1211intnanrd 962 . . . . 5 (𝑁 ∉ Fin → ¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
13 matbas0 20156 . . . . 5 (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = ∅)
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝑁 ∉ Fin → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = ∅)
1514mpteq1d 4708 . . 3 (𝑁 ∉ Fin → (𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))) = (𝑚 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))))
16 mpt0 5988 . . 3 (𝑚 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))) = ∅
1715, 16syl6eq 2671 . 2 (𝑁 ∉ Fin → (𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))) = ∅)
189, 17syl5eq 2667 1 (𝑁 ∉ Fin → 𝐷 = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wnel 2893  Vcvv 3190  c0 3897  cmpt 4683  ccom 5088  cfv 5857  (class class class)co 6615  Fincfn 7915  Basecbs 15800  .rcmulr 15882   Σg cgsu 16041  SymGrpcsymg 17737  pmSgncpsgn 17849  mulGrpcmgp 18429  ℤRHomczrh 19788   Mat cmat 20153   maDet cmdat 20330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-slot 15804  df-base 15805  df-mat 20154  df-mdet 20331
This theorem is referenced by:  mdetfval1  20336
  Copyright terms: Public domain W3C validator