MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfitg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfitg 23264
Description: Bound-variable hypothesis builder for an integral: if 𝑦 is (effectively) not free in 𝐴 and 𝐵, it is not free in 𝐴𝐵 d𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nfitg.1 𝑦𝐴
nfitg.2 𝑦𝐵
Assertion
Ref Expression
nfitg 𝑦𝐴𝐵 d𝑥
Distinct variable group:   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nfitg
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . . 3 (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
21dfitg 23259 . 2 𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
3 nfcv 2750 . . 3 𝑦(0...3)
4 nfcv 2750 . . . 4 𝑦(i↑𝑘)
5 nfcv 2750 . . . 4 𝑦 ·
6 nfcv 2750 . . . . 5 𝑦2
7 nfcv 2750 . . . . . 6 𝑦
8 nfitg.1 . . . . . . . . 9 𝑦𝐴
98nfcri 2744 . . . . . . . 8 𝑦 𝑥𝐴
10 nfcv 2750 . . . . . . . . 9 𝑦0
11 nfcv 2750 . . . . . . . . 9 𝑦
12 nfcv 2750 . . . . . . . . . 10 𝑦
13 nfitg.2 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝐵
14 nfcv 2750 . . . . . . . . . . 11 𝑦 /
1513, 14, 4nfov 6553 . . . . . . . . . 10 𝑦(𝐵 / (i↑𝑘))
1612, 15nffv 6095 . . . . . . . . 9 𝑦(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
1710, 11, 16nfbr 4623 . . . . . . . 8 𝑦0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
189, 17nfan 1815 . . . . . . 7 𝑦(𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
1918, 16, 10nfif 4064 . . . . . 6 𝑦if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)
207, 19nfmpt 4668 . . . . 5 𝑦(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))
216, 20nffv 6095 . . . 4 𝑦(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))
224, 5, 21nfov 6553 . . 3 𝑦((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
233, 22nfsum 14215 . 2 𝑦Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
242, 23nfcxfr 2748 1 𝑦𝐴𝐵 d𝑥
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382  wcel 1976  wnfc 2737  ifcif 4035   class class class wbr 4577  cmpt 4637  cfv 5790  (class class class)co 6527  cr 9791  0cc0 9792  ici 9794   · cmul 9797  cle 9931   / cdiv 10533  3c3 10918  ...cfz 12152  cexp 12677  cre 13631  Σcsu 14210  2citg2 23108  citg 23110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-seq 12619  df-sum 14211  df-itg 23115
This theorem is referenced by:  itgfsum  23316  itgulm2  23884  fourierdlem112  38915
  Copyright terms: Public domain W3C validator