MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfitg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfitg1 23263
Description: Bound-variable hypothesis builder for an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
nfitg1 𝑥𝐴𝐵 d𝑥

Proof of Theorem nfitg1
Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-itg 23115 . 2 𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0))))
2 nfcv 2750 . . 3 𝑥(0...3)
3 nfcv 2750 . . . 4 𝑥(i↑𝑘)
4 nfcv 2750 . . . 4 𝑥 ·
5 nfcv 2750 . . . . 5 𝑥2
6 nfmpt1 4669 . . . . 5 𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0))
75, 6nffv 6095 . . . 4 𝑥(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0)))
83, 4, 7nfov 6553 . . 3 𝑥((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0))))
92, 8nfsum 14215 . 2 𝑥Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0))))
101, 9nfcxfr 2748 1 𝑥𝐴𝐵 d𝑥
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382  wcel 1976  wnfc 2737  csb 3498  ifcif 4035   class class class wbr 4577  cmpt 4637  cfv 5790  (class class class)co 6527  cr 9791  0cc0 9792  ici 9794   · cmul 9797  cle 9931   / cdiv 10533  3c3 10918  ...cfz 12152  cexp 12677  cre 13631  Σcsu 14210  2citg2 23108  citg 23110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-seq 12619  df-sum 14211  df-itg 23115
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator