Theorem nfop 4822

Description: Bound-variable hypothesis builder for ordered pairs. (Contributed by NM, 14-Nov-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfop.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
nfop.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐵

Assertion

Ref	Expression
nfop	⊢ Ⅎ𝑥⟨𝐴, 𝐵⟩

Proof of Theorem nfop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfopif 4803	. 2 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ = if((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V), {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}, ∅)
2		nfop.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3	2	nfel1 2997	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ V
4		nfop.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
5	4	nfel1 2997	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐵 ∈ V
6	3, 5	nfan 1899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
7	2	nfsn 4646	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝐴}
8	2, 4	nfpr 4631	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝐴, 𝐵}
9	7, 8	nfpr 4631	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}
10		nfcv 2980	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥∅
11	6, 9, 10	nfif 4499	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥if((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V), {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}, ∅)
12	1, 11	nfcxfr 2978	1 ⊢ Ⅎ𝑥⟨𝐴, 𝐵⟩

Syntax hints:   ∧ wa 398   ∈ wcel 2113  Ⅎwnfc 2964  Vcvv 3497  ∅c0 4294  ifcif 4470  {csn 4570  {cpr 4572  ⟨cop 4576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-v 3499  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577

This theorem is referenced by:  nfopd  4823  moop2  5395  iunopeqop  5414  fliftfuns  7070  dfmpo  7800  qliftfuns  8387  xpf1o  8682  nfseq  13382  txcnp  22231  cnmpt1t  22276  cnmpt2t  22284  flfcnp2  22618  bnj958  32216  bnj1000  32217  bnj1446  32321  bnj1447  32322  bnj1448  32323  bnj1466  32329  bnj1467  32330  bnj1519  32341  bnj1520  32342  bnj1529  32346  nosupbnd2  33220  poimirlem26  34922  nfopdALT  36111  nfaov  43385