Theorem nfss 3963

Description: If 𝑥 is not free in 𝐴 and 𝐵, it is not free in 𝐴 ⊆ 𝐵. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfss2f.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
dfss2f.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐵

Assertion

Ref	Expression
nfss	⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem nfss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2f.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		dfss2f.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
3	1, 2	dfss3f 3962	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)
4		nfra1 3222	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵
5	3, 4	nfxfr 1852	1 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ⊆ 𝐵

Syntax hints:  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2113  Ⅎwnfc 2964  ∀wral 3141   ⊆ wss 3939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ral 3146  df-in 3946  df-ss 3955

This theorem is referenced by:  ssrexf  4034  nfpw  4563  ssiun2s  4975  triun  5188  iunopeqop  5414  ssopab2bw  5437  ssopab2b  5439  nffr  5532  nfrel  5657  nffun  6381  nff  6513  fvmptss  6783  ssoprab2b  7226  eqoprab2bw  7227  tfis  7572  ovmptss  7791  nfwrecs  7952  oawordeulem  8183  nnawordex  8266  r1val1  9218  cardaleph  9518  nfsum1  15049  nfsumw  15050  nfsum  15051  nfcprod1  15267  nfcprod  15268  iunconn  22039  ovolfiniun  24105  ovoliunlem3  24108  ovoliun  24109  ovoliun2  24110  ovoliunnul  24111  limciun  24495  ssiun2sf  30314  ssrelf  30369  funimass4f  30385  fsumiunle  30549  prodindf  31286  esumiun  31357  bnj1408  32312  nffrecs  33124  totbndbnd  35071  ss2iundf  40010  iunconnlem2  41275  iinssdf  41414  rnmptssbi  41540  stoweidlem53  42345  stoweidlem57  42349  meaiunincf  42772  meaiuninc3  42774  opnvonmbllem2  42922  smflim  43060  nfsetrecs  44796  setrec2fun  44802