MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfsup 8342
Description: Hypothesis builder for supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nfsup.1 𝑥𝐴
nfsup.2 𝑥𝐵
nfsup.3 𝑥𝑅
Assertion
Ref Expression
nfsup 𝑥sup(𝐴, 𝐵, 𝑅)

Proof of Theorem nfsup
StepHypRef Expression
1 dfsup2 8335 . 2 sup(𝐴, 𝐵, 𝑅) = (𝐵 ∖ ((𝑅𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (𝑅𝐴)))))
2 nfsup.2 . . . 4 𝑥𝐵
3 nfsup.3 . . . . . . 7 𝑥𝑅
43nfcnv 5290 . . . . . 6 𝑥𝑅
5 nfsup.1 . . . . . 6 𝑥𝐴
64, 5nfima 5462 . . . . 5 𝑥(𝑅𝐴)
72, 6nfdif 3723 . . . . . 6 𝑥(𝐵 ∖ (𝑅𝐴))
83, 7nfima 5462 . . . . 5 𝑥(𝑅 “ (𝐵 ∖ (𝑅𝐴)))
96, 8nfun 3761 . . . 4 𝑥((𝑅𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (𝑅𝐴))))
102, 9nfdif 3723 . . 3 𝑥(𝐵 ∖ ((𝑅𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (𝑅𝐴)))))
1110nfuni 4433 . 2 𝑥 (𝐵 ∖ ((𝑅𝐴) ∪ (𝑅 “ (𝐵 ∖ (𝑅𝐴)))))
121, 11nfcxfr 2760 1 𝑥sup(𝐴, 𝐵, 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wnfc 2749  cdif 3564  cun 3565   cuni 4427  ccnv 5103  cima 5107  supcsup 8331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pr 4897
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-xp 5110  df-cnv 5112  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-sup 8333
This theorem is referenced by:  nfinf  8373  itg2cnlem1  23509  esum2d  30129  nfwlim  31742  totbndbnd  33559  aomclem8  37450  binomcxplemdvbinom  38372  binomcxplemdvsum  38374  binomcxplemnotnn0  38375  ssfiunibd  39336  uzub  39471  limsupubuz  39745  fourierdlem20  40107  fourierdlem31  40118  fourierdlem79  40165  sge0ltfirp  40380  pimdecfgtioc  40688  decsmflem  40737  smfsup  40783  smfsupxr  40785  smflimsup  40797
  Copyright terms: Public domain W3C validator