Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ngpi 22479
 Description: The properties of a normed group, which is a group accompanied by a norm. (Contributed by AV, 7-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ngpi.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ngpi.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
ngpi.m = (-g𝑊)
ngpi.0 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
ngpi (𝑊 ∈ NrmGrp → (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑉⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝑉 (((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦)))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑉   𝑥,𝑊,𝑦
Allowed substitution hints:   (𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ngpi
StepHypRef Expression
1 ngpgrp 22450 . 2 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
2 ngpi.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 ngpi.n . . 3 𝑁 = (norm‘𝑊)
42, 3nmf 22466 . 2 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑁:𝑉⟶ℝ)
5 ngpi.0 . . . . 5 0 = (0g𝑊)
62, 3, 5nmeq0 22469 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉) → ((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
7 ngpi.m . . . . . . 7 = (-g𝑊)
82, 3, 7nmmtri 22473 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦)))
983expa 1284 . . . . 5 (((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑦𝑉) → (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦)))
109ralrimiva 2995 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉) → ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦)))
116, 10jca 553 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉) → (((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦))))
1211ralrimiva 2995 . 2 (𝑊 ∈ NrmGrp → ∀𝑥𝑉 (((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦))))
131, 4, 123jca 1261 1 (𝑊 ∈ NrmGrp → (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑉⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝑉 (((𝑁𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 (𝑁‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941   class class class wbr 4685  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977   ≤ cle 10113  Basecbs 15904  0gc0g 16147  Grpcgrp 17469  -gcsg 17471  normcnm 22428  NrmGrpcngp 22429 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-0g 16149  df-topgen 16151  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-xms 22172  df-ms 22173  df-nm 22434  df-ngp 22435 This theorem is referenced by:  ncvsi  22997
 Copyright terms: Public domain W3C validator