Theorem ngpinvds 22464

Description: Two elements are the same distance apart as their inverses. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ngpinvds.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngpinvds.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
ngpinvds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ngpinvds	⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝐵)) = (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem ngpinvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpinvds.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
3		ngpinvds.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
4		simplr 807	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Abel)
5		simprr 811	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
6		simprl 809	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ablsub2inv 18262	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐼‘𝐵)(-g‘𝐺)(𝐼‘𝐴)) = (𝐴(-g‘𝐺)𝐵))
8	7	fveq2d 6233	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((norm‘𝐺)‘((𝐼‘𝐵)(-g‘𝐺)(𝐼‘𝐴))) = ((norm‘𝐺)‘(𝐴(-g‘𝐺)𝐵)))
9		simpll 805	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
10		ngpgrp 22450	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
12	1, 3	grpinvcl 17514	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐼‘𝐴) ∈ 𝑋)
13	11, 6, 12	syl2anc 694	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐼‘𝐴) ∈ 𝑋)
14	1, 3	grpinvcl 17514	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐼‘𝐵) ∈ 𝑋)
15	11, 5, 14	syl2anc 694	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐼‘𝐵) ∈ 𝑋)
16		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
17		ngpinvds.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
18	16, 1, 2, 17	ngpdsr 22456	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐼‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐼‘𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝐵)) = ((norm‘𝐺)‘((𝐼‘𝐵)(-g‘𝐺)(𝐼‘𝐴))))
19	9, 13, 15, 18	syl3anc 1366	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝐵)) = ((norm‘𝐺)‘((𝐼‘𝐵)(-g‘𝐺)(𝐼‘𝐴))))
20	16, 1, 2, 17	ngpds 22455	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = ((norm‘𝐺)‘(𝐴(-g‘𝐺)𝐵)))
21	9, 6, 5, 20	syl3anc 1366	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) = ((norm‘𝐺)‘(𝐴(-g‘𝐺)𝐵)))
22	8, 19, 21	3eqtr4d 2695	1 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ Abel) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐼‘𝐴)𝐷(𝐼‘𝐵)) = (𝐴𝐷𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  distcds 15997  Grpcgrp 17469  inv_gcminusg 17470  -_gcsg 17471  Abelcabl 18240  normcnm 22428  NrmGrpcngp 22429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-0g 16149  df-topgen 16151  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-xms 22172  df-ms 22173  df-nm 22434  df-ngp 22435

This theorem is referenced by:  ngptgp  22487