MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngtmnft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ngtmnft 12210
Description: An extended real is not greater than minus infinity iff they are equal. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
ngtmnft (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))

Proof of Theorem ngtmnft
StepHypRef Expression
1 mnfxr 10308 . . . 4 -∞ ∈ ℝ*
2 xrltnr 12166 . . . 4 (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
31, 2ax-mp 5 . . 3 ¬ -∞ < -∞
4 breq2 4808 . . 3 (𝐴 = -∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < -∞))
53, 4mtbiri 316 . 2 (𝐴 = -∞ → ¬ -∞ < 𝐴)
6 mnfle 12182 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
7 xrleloe 12190 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ (-∞ < 𝐴 ∨ -∞ = 𝐴)))
81, 7mpan 708 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ (-∞ < 𝐴 ∨ -∞ = 𝐴)))
96, 8mpbid 222 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝐴 ∨ -∞ = 𝐴))
109ord 391 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (¬ -∞ < 𝐴 → -∞ = 𝐴))
11 eqcom 2767 . . 3 (-∞ = 𝐴𝐴 = -∞)
1210, 11syl6ib 241 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (¬ -∞ < 𝐴𝐴 = -∞))
135, 12impbid2 216 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  -∞cmnf 10284  *cxr 10285   < clt 10286  cle 10287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292
This theorem is referenced by:  xlemnf  12211  xrrebnd  12212  ge0nemnf  12217  xlt2add  12303  xrsdsreclblem  20014  xblpnfps  22421  xblpnf  22422  supxrnemnf  29864  itg2addnclem  33792  supxrgelem  40069  supxrge  40070  nemnftgtmnft  40076  infxrbnd2  40101
  Copyright terms: Public domain W3C validator