MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlly2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlly2i 21189
Description: Eliminate the neighborhood symbol from nllyi 21188. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nlly2i ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝑈𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑠,𝐴   𝑃,𝑠,𝑢   𝑈,𝑠,𝑢   𝐽,𝑠,𝑢

Proof of Theorem nlly2i
StepHypRef Expression
1 nllyi 21188 . 2 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) → ∃𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))
2 simprrl 803 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → 𝑠𝑈)
3 selpw 4137 . . . . . 6 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑈𝑠𝑈)
42, 3sylibr 224 . . . . 5 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑈)
5 simpl1 1062 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → 𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴)
6 nllytop 21186 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝐽 ∈ Top)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → 𝐽 ∈ Top)
8 simprl 793 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → 𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
9 neii2 20822 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ∃𝑢𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠))
107, 8, 9syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → ∃𝑢𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠))
11 simprl 793 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠)) → {𝑃} ⊆ 𝑢)
12 simpll3 1100 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠)) → 𝑃𝑈)
13 snssg 4296 . . . . . . . . . . 11 (𝑃𝑈 → (𝑃𝑢 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑢))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠)) → (𝑃𝑢 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑢))
1511, 14mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠)) → 𝑃𝑢)
16 simprr 795 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠)) → 𝑢𝑠)
17 simprrr 804 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴)
1817adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠)) → (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴)
1915, 16, 183jca 1240 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠)) → (𝑃𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))
2019ex 450 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → (({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠) → (𝑃𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴)))
2120reximdv 3010 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → (∃𝑢𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠) → ∃𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴)))
2210, 21mpd 15 . . . . 5 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → ∃𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))
234, 22jca 554 . . . 4 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → (𝑠 ∈ 𝒫 𝑈 ∧ ∃𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴)))
2423ex 450 . . 3 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) → ((𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴)) → (𝑠 ∈ 𝒫 𝑈 ∧ ∃𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))))
2524reximdv2 3008 . 2 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) → (∃𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝑈𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴)))
261, 25mpd 15 1 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝑈𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036  wcel 1987  wrex 2908  wss 3555  𝒫 cpw 4130  {csn 4148  cfv 5847  (class class class)co 6604  t crest 16002  Topctop 20617  neicnei 20811  𝑛-Locally cnlly 21178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-top 20621  df-nei 20812  df-nlly 21180
This theorem is referenced by:  restnlly  21195  nllyrest  21199  nllyidm  21202  cldllycmp  21208  txnlly  21350  txkgen  21365  xkococnlem  21372  connpconn  30922  cvmliftmolem2  30969  cvmlift3lem8  31013
  Copyright terms: Public domain W3C validator