MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlly2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlly2i 21477
Description: Eliminate the neighborhood symbol from nllyi 21476. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nlly2i ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝑈𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑠,𝐴   𝑃,𝑠,𝑢   𝑈,𝑠,𝑢   𝐽,𝑠,𝑢

Proof of Theorem nlly2i
StepHypRef Expression
1 nllyi 21476 . 2 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) → ∃𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))
2 simprrl 823 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → 𝑠𝑈)
3 selpw 4305 . . . . . 6 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑈𝑠𝑈)
42, 3sylibr 224 . . . . 5 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑈)
5 simpl1 1228 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → 𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴)
6 nllytop 21474 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝐽 ∈ Top)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → 𝐽 ∈ Top)
8 simprl 811 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → 𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
9 neii2 21110 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ∃𝑢𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠))
107, 8, 9syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → ∃𝑢𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠))
11 simprl 811 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠)) → {𝑃} ⊆ 𝑢)
12 simpll3 1259 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠)) → 𝑃𝑈)
13 snssg 4455 . . . . . . . . . . 11 (𝑃𝑈 → (𝑃𝑢 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑢))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠)) → (𝑃𝑢 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑢))
1511, 14mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠)) → 𝑃𝑢)
16 simprr 813 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠)) → 𝑢𝑠)
17 simprrr 824 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴)
1817adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠)) → (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴)
1915, 16, 183jca 1123 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠)) → (𝑃𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))
2019ex 449 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → (({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠) → (𝑃𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴)))
2120reximdv 3150 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → (∃𝑢𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠) → ∃𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴)))
2210, 21mpd 15 . . . . 5 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → ∃𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))
234, 22jca 555 . . . 4 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → (𝑠 ∈ 𝒫 𝑈 ∧ ∃𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴)))
2423ex 449 . . 3 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) → ((𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴)) → (𝑠 ∈ 𝒫 𝑈 ∧ ∃𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))))
2524reximdv2 3148 . 2 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) → (∃𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝑈𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴)))
261, 25mpd 15 1 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝑈𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072  wcel 2135  wrex 3047  wss 3711  𝒫 cpw 4298  {csn 4317  cfv 6045  (class class class)co 6809  t crest 16279  Topctop 20896  neicnei 21099  𝑛-Locally cnlly 21466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-id 5170  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-ov 6812  df-top 20897  df-nei 21100  df-nlly 21468
This theorem is referenced by:  restnlly  21483  nllyrest  21487  nllyidm  21490  cldllycmp  21496  txnlly  21638  txkgen  21653  xkococnlem  21660  connpconn  31520  cvmliftmolem2  31567  cvmlift3lem8  31611
  Copyright terms: Public domain W3C validator