Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmdsdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlmdsdi 22532
 Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmdsdi.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmdsdi.s · = ( ·𝑠𝑊)
nlmdsdi.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmdsdi.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmdsdi.d 𝐷 = (dist‘𝑊)
nlmdsdi.a 𝐴 = (norm‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
nlmdsdi ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → ((𝐴𝑋) · (𝑌𝐷𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)𝐷(𝑋 · 𝑍)))

Proof of Theorem nlmdsdi
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → 𝑊 ∈ NrmMod)
2 simpr1 1087 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → 𝑋𝐾)
3 nlmngp 22528 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
43adantr 480 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
5 ngpgrp 22450 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → 𝑊 ∈ Grp)
7 simpr2 1088 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → 𝑌𝑉)
8 simpr3 1089 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → 𝑍𝑉)
9 nlmdsdi.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
10 eqid 2651 . . . . . 6 (-g𝑊) = (-g𝑊)
119, 10grpsubcl 17542 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌(-g𝑊)𝑍) ∈ 𝑉)
126, 7, 8, 11syl3anc 1366 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → (𝑌(-g𝑊)𝑍) ∈ 𝑉)
13 eqid 2651 . . . . 5 (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
14 nlmdsdi.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
15 nlmdsdi.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
16 nlmdsdi.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
17 nlmdsdi.a . . . . 5 𝐴 = (norm‘𝐹)
189, 13, 14, 15, 16, 17nmvs 22527 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑋𝐾 ∧ (𝑌(-g𝑊)𝑍) ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑊)‘(𝑋 · (𝑌(-g𝑊)𝑍))) = ((𝐴𝑋) · ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g𝑊)𝑍))))
191, 2, 12, 18syl3anc 1366 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → ((norm‘𝑊)‘(𝑋 · (𝑌(-g𝑊)𝑍))) = ((𝐴𝑋) · ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g𝑊)𝑍))))
20 nlmlmod 22529 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
2120adantr 480 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
229, 14, 15, 16, 10, 21, 2, 7, 8lmodsubdi 18968 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → (𝑋 · (𝑌(-g𝑊)𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)(-g𝑊)(𝑋 · 𝑍)))
2322fveq2d 6233 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → ((norm‘𝑊)‘(𝑋 · (𝑌(-g𝑊)𝑍))) = ((norm‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)(-g𝑊)(𝑋 · 𝑍))))
2419, 23eqtr3d 2687 . 2 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → ((𝐴𝑋) · ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g𝑊)𝑍))) = ((norm‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)(-g𝑊)(𝑋 · 𝑍))))
25 nlmdsdi.d . . . . 5 𝐷 = (dist‘𝑊)
2613, 9, 10, 25ngpds 22455 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌𝐷𝑍) = ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g𝑊)𝑍)))
274, 7, 8, 26syl3anc 1366 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → (𝑌𝐷𝑍) = ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g𝑊)𝑍)))
2827oveq2d 6706 . 2 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → ((𝐴𝑋) · (𝑌𝐷𝑍)) = ((𝐴𝑋) · ((norm‘𝑊)‘(𝑌(-g𝑊)𝑍))))
299, 15, 14, 16lmodvscl 18928 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉)
3021, 2, 7, 29syl3anc 1366 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉)
319, 15, 14, 16lmodvscl 18928 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾𝑍𝑉) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉)
3221, 2, 8, 31syl3anc 1366 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉)
3313, 9, 10, 25ngpds 22455 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑋 · 𝑌)𝐷(𝑋 · 𝑍)) = ((norm‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)(-g𝑊)(𝑋 · 𝑍))))
344, 30, 32, 33syl3anc 1366 . 2 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → ((𝑋 · 𝑌)𝐷(𝑋 · 𝑍)) = ((norm‘𝑊)‘((𝑋 · 𝑌)(-g𝑊)(𝑋 · 𝑍))))
3524, 28, 343eqtr4d 2695 1 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑍𝑉)) → ((𝐴𝑋) · (𝑌𝐷𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)𝐷(𝑋 · 𝑍)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   · cmul 9979  Basecbs 15904  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  distcds 15997  Grpcgrp 17469  -gcsg 17471  LModclmod 18911  normcnm 22428  NrmGrpcngp 22429  NrmModcnlm 22432 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-topgen 16151  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-lmod 18913  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-xms 22172  df-ms 22173  df-nm 22434  df-ngp 22435  df-nlm 22438 This theorem is referenced by:  nlmvscnlem2  22536
 Copyright terms: Public domain W3C validator