Theorem nlmmul0or 22686

Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlmmul0or.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmmul0or.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
nlmmul0or.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
nlmmul0or.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmmul0or.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmmul0or.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
nlmmul0or	⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝐵 = 0 )))

Proof of Theorem nlmmul0or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlmmul0or.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	nlmngp2 22683	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp)
3	2	3ad2ant1 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ NrmGrp)
4		simp2 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝐾)
5		nlmmul0or.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
6		eqid 2758	. . . . . 6 ⊢ (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
7	5, 6	nmcl 22619	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((norm‘𝐹)‘𝐴) ∈ ℝ)
8	3, 4, 7	syl2anc 696	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝐹)‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	recnd 10258	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝐹)‘𝐴) ∈ ℂ)
10		nlmngp 22680	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
11	10	3ad2ant1 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
12		simp3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
13		nlmmul0or.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
14		eqid 2758	. . . . . 6 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
15	13, 14	nmcl 22619	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑊)‘𝐵) ∈ ℝ)
16	11, 12, 15	syl2anc 696	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑊)‘𝐵) ∈ ℝ)
17	16	recnd 10258	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑊)‘𝐵) ∈ ℂ)
18	9, 17	mul0ord 10867	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((((norm‘𝐹)‘𝐴) · ((norm‘𝑊)‘𝐵)) = 0 ↔ (((norm‘𝐹)‘𝐴) = 0 ∨ ((norm‘𝑊)‘𝐵) = 0)))
19		nlmmul0or.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
20	13, 14, 19, 1, 5, 6	nmvs 22679	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑊)‘(𝐴 · 𝐵)) = (((norm‘𝐹)‘𝐴) · ((norm‘𝑊)‘𝐵)))
21	20	eqeq1d 2760	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑊)‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ↔ (((norm‘𝐹)‘𝐴) · ((norm‘𝑊)‘𝐵)) = 0))
22		nlmlmod 22681	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
23	13, 1, 19, 5	lmodvscl 19080	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑉)
24	22, 23	syl3an1 1167	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑉)
25		nlmmul0or.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
26	13, 14, 25	nmeq0 22621	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑊)‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0 ))
27	11, 24, 26	syl2anc 696	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑊)‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0 ))
28	21, 27	bitr3d 270	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((((norm‘𝐹)‘𝐴) · ((norm‘𝑊)‘𝐵)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = 0 ))
29		nlmmul0or.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)
30	5, 6, 29	nmeq0 22621	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (((norm‘𝐹)‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑂))
31	3, 4, 30	syl2anc 696	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝐹)‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑂))
32	13, 14, 25	nmeq0 22621	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑊)‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = 0 ))
33	11, 12, 32	syl2anc 696	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑊)‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = 0 ))
34	31, 33	orbi12d 748	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((((norm‘𝐹)‘𝐴) = 0 ∨ ((norm‘𝑊)‘𝐵) = 0) ↔ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝐵 = 0 )))
35	18, 28, 34	3bitr3d 298	1 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 · 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 𝑂 ∨ 𝐵 = 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ w3a 1072   = wceq 1630   ∈ wcel 2137  ‘cfv 6047  (class class class)co 6811  ℝcr 10125  0cc0 10126   · cmul 10131  Basecbs 16057  Scalarcsca 16144   ·_𝑠 cvsca 16145  0_gc0g 16300  LModclmod 19063  normcnm 22580  NrmGrpcngp 22581  NrmModcnlm 22584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-er 7909  df-map 8023  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-sup 8511  df-inf 8512  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-q 11980  df-rp 12024  df-xneg 12137  df-xadd 12138  df-xmul 12139  df-0g 16302  df-topgen 16304  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-grp 17624  df-lmod 19065  df-psmet 19938  df-xmet 19939  df-met 19940  df-bl 19941  df-mopn 19942  df-top 20899  df-topon 20916  df-topsp 20937  df-bases 20950  df-xms 22324  df-ms 22325  df-nm 22586  df-ngp 22587  df-nrg 22589  df-nlm 22590

This theorem is referenced by: (None)