MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmvscnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlmvscnlem1 22430
Description: Lemma for nlmvscn 22431. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmvscn.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmvscn.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmvscn.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmvscn.d 𝐷 = (dist‘𝑊)
nlmvscn.e 𝐸 = (dist‘𝐹)
nlmvscn.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
nlmvscn.a 𝐴 = (norm‘𝐹)
nlmvscn.s · = ( ·𝑠𝑊)
nlmvscn.t 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝐴𝐵) + 1))
nlmvscn.u 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝑋) + 𝑇))
nlmvscn.w (𝜑𝑊 ∈ NrmMod)
nlmvscn.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
nlmvscn.b (𝜑𝐵𝐾)
nlmvscn.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
nlmvscnlem1 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝐾𝑦𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑟   𝐷,𝑟   𝐸,𝑟   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑟,𝑦,𝑇   𝑈,𝑟,𝑥,𝑦   𝐹,𝑟,𝑥,𝑦   𝐾,𝑟,𝑦   𝑅,𝑟   𝑉,𝑟   𝑊,𝑟,𝑥,𝑦   · ,𝑟,𝑥,𝑦   𝑋,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑟)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑟)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nlmvscnlem1
StepHypRef Expression
1 nlmvscn.t . . . 4 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝐴𝐵) + 1))
2 nlmvscn.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
32rphalfcld 11844 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
4 nlmvscn.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ NrmMod)
5 nlmvscn.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
65nlmngp2 22424 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp)
74, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ NrmGrp)
8 nlmvscn.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐾)
9 nlmvscn.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝐹)
10 nlmvscn.a . . . . . . . 8 𝐴 = (norm‘𝐹)
119, 10nmcl 22360 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝐾) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
127, 8, 11syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
139, 10nmge0 22361 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝐾) → 0 ≤ (𝐴𝐵))
147, 8, 13syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝐵))
1512, 14ge0p1rpd 11862 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
163, 15rpdivcld 11849 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝐴𝐵) + 1)) ∈ ℝ+)
171, 16syl5eqel 2702 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
18 nlmvscn.u . . . 4 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝑋) + 𝑇))
19 nlmngp 22421 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
204, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ NrmGrp)
21 nlmvscn.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑉)
22 nlmvscn.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
23 nlmvscn.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (norm‘𝑊)
2422, 23nmcl 22360 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝑋) ∈ ℝ)
2520, 21, 24syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ ℝ)
2617rpred 11832 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
2725, 26readdcld 10029 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁𝑋) + 𝑇) ∈ ℝ)
28 0red 10001 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2922, 23nmge0 22361 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉) → 0 ≤ (𝑁𝑋))
3020, 21, 29syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝑋))
3125, 17ltaddrpd 11865 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑋) < ((𝑁𝑋) + 𝑇))
3228, 25, 27, 30, 31lelttrd 10155 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < ((𝑁𝑋) + 𝑇))
3327, 32elrpd 11829 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑋) + 𝑇) ∈ ℝ+)
343, 33rpdivcld 11849 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝑋) + 𝑇)) ∈ ℝ+)
3518, 34syl5eqel 2702 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
3617, 35ifcld 4109 . 2 (𝜑 → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+)
37 nlmvscn.d . . . . 5 𝐷 = (dist‘𝑊)
38 nlmvscn.e . . . . 5 𝐸 = (dist‘𝐹)
39 nlmvscn.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
404adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ NrmMod)
412adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
428adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐵𝐾)
4321adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑋𝑉)
44 simprll 801 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑥𝐾)
45 simprlr 802 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑦𝑉)
467adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐹 ∈ NrmGrp)
47 ngpms 22344 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ NrmGrp → 𝐹 ∈ MetSp)
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐹 ∈ MetSp)
499, 38mscl 22206 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MetSp ∧ 𝐵𝐾𝑥𝐾) → (𝐵𝐸𝑥) ∈ ℝ)
5048, 42, 44, 49syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐸𝑥) ∈ ℝ)
5136adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+)
5251rpred 11832 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ)
5335rpred 11832 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
5453adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑈 ∈ ℝ)
55 simprrl 803 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈))
5626adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
57 min2 11980 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑈)
5856, 54, 57syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑈)
5950, 52, 54, 55, 58ltletrd 10157 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐸𝑥) < 𝑈)
60 ngpms 22344 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
6120, 60syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ MetSp)
6261adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ MetSp)
6322, 37mscl 22206 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝑋𝑉𝑦𝑉) → (𝑋𝐷𝑦) ∈ ℝ)
6462, 43, 45, 63syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝑋𝐷𝑦) ∈ ℝ)
65 simprrr 804 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈))
66 min1 11979 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑇)
6756, 54, 66syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑇)
6864, 52, 56, 65, 67ltletrd 10157 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝑋𝐷𝑦) < 𝑇)
695, 22, 9, 37, 38, 23, 10, 39, 1, 18, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 59, 68nlmvscnlem2 22429 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅)
7069expr 642 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝑉)) → (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))
7170ralrimivva 2967 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐾𝑦𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))
72 breq2 4627 . . . . . 6 (𝑟 = if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ↔ (𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))
73 breq2 4627 . . . . . 6 (𝑟 = if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((𝑋𝐷𝑦) < 𝑟 ↔ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))
7472, 73anbi12d 746 . . . . 5 (𝑟 = if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) → (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) ↔ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈))))
7574imbi1d 331 . . . 4 (𝑟 = if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅) ↔ (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅)))
76752ralbidv 2985 . . 3 (𝑟 = if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) → (∀𝑥𝐾𝑦𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅) ↔ ∀𝑥𝐾𝑦𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅)))
7776rspcev 3299 . 2 ((if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐾𝑦𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝐾𝑦𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))
7836, 71, 77syl2anc 692 1 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝐾𝑦𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2908  wrex 2909  ifcif 4064   class class class wbr 4623  cfv 5857  (class class class)co 6615  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   < clt 10034  cle 10035   / cdiv 10644  2c2 11030  +crp 11792  Basecbs 15800  Scalarcsca 15884   ·𝑠 cvsca 15885  distcds 15890  MetSpcmt 22063  normcnm 22321  NrmGrpcngp 22322  NrmModcnlm 22325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-fz 12285  df-seq 12758  df-exp 12817  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-0g 16042  df-topgen 16044  df-xrs 16102  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-lmod 18805  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-xms 22065  df-ms 22066  df-nm 22327  df-ngp 22328  df-nrg 22330  df-nlm 22331
This theorem is referenced by:  nlmvscn  22431
  Copyright terms: Public domain W3C validator