MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlt1pi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlt1pi 9675
Description: No positive integer is less than one. (Contributed by NM, 23-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nlt1pi ¬ 𝐴 <N 1𝑜

Proof of Theorem nlt1pi
StepHypRef Expression
1 elni 9645 . . . 4 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
21simprbi 480 . . 3 (𝐴N𝐴 ≠ ∅)
3 noel 3897 . . . . . 6 ¬ 𝐴 ∈ ∅
4 1pi 9652 . . . . . . . . . 10 1𝑜N
5 ltpiord 9656 . . . . . . . . . 10 ((𝐴N ∧ 1𝑜N) → (𝐴 <N 1𝑜𝐴 ∈ 1𝑜))
64, 5mpan2 706 . . . . . . . . 9 (𝐴N → (𝐴 <N 1𝑜𝐴 ∈ 1𝑜))
7 df-1o 7508 . . . . . . . . . . 11 1𝑜 = suc ∅
87eleq2i 2690 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 1𝑜𝐴 ∈ suc ∅)
9 elsucg 5753 . . . . . . . . . 10 (𝐴N → (𝐴 ∈ suc ∅ ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
108, 9syl5bb 272 . . . . . . . . 9 (𝐴N → (𝐴 ∈ 1𝑜 ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
116, 10bitrd 268 . . . . . . . 8 (𝐴N → (𝐴 <N 1𝑜 ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
1211biimpa 501 . . . . . . 7 ((𝐴N𝐴 <N 1𝑜) → (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅))
1312ord 392 . . . . . 6 ((𝐴N𝐴 <N 1𝑜) → (¬ 𝐴 ∈ ∅ → 𝐴 = ∅))
143, 13mpi 20 . . . . 5 ((𝐴N𝐴 <N 1𝑜) → 𝐴 = ∅)
1514ex 450 . . . 4 (𝐴N → (𝐴 <N 1𝑜𝐴 = ∅))
1615necon3ad 2803 . . 3 (𝐴N → (𝐴 ≠ ∅ → ¬ 𝐴 <N 1𝑜))
172, 16mpd 15 . 2 (𝐴N → ¬ 𝐴 <N 1𝑜)
18 ltrelpi 9658 . . . . 5 <N ⊆ (N × N)
1918brel 5130 . . . 4 (𝐴 <N 1𝑜 → (𝐴N ∧ 1𝑜N))
2019simpld 475 . . 3 (𝐴 <N 1𝑜𝐴N)
2120con3i 150 . 2 𝐴N → ¬ 𝐴 <N 1𝑜)
2217, 21pm2.61i 176 1 ¬ 𝐴 <N 1𝑜
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  c0 3893   class class class wbr 4615  suc csuc 5686  ωcom 7015  1𝑜c1o 7501  Ncnpi 9613   <N clti 9616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pr 4869  ax-un 6905
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-br 4616  df-opab 4676  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-om 7016  df-1o 7508  df-ni 9641  df-lti 9644
This theorem is referenced by:  indpi  9676  pinq  9696  archnq  9749
  Copyright terms: Public domain W3C validator