MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlt1pi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlt1pi 10316
Description: No positive integer is less than one. (Contributed by NM, 23-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nlt1pi ¬ 𝐴 <N 1o

Proof of Theorem nlt1pi
StepHypRef Expression
1 elni 10286 . . . 4 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
21simprbi 497 . . 3 (𝐴N𝐴 ≠ ∅)
3 noel 4293 . . . . . 6 ¬ 𝐴 ∈ ∅
4 1pi 10293 . . . . . . . . . 10 1oN
5 ltpiord 10297 . . . . . . . . . 10 ((𝐴N ∧ 1oN) → (𝐴 <N 1o𝐴 ∈ 1o))
64, 5mpan2 687 . . . . . . . . 9 (𝐴N → (𝐴 <N 1o𝐴 ∈ 1o))
7 df-1o 8091 . . . . . . . . . . 11 1o = suc ∅
87eleq2i 2901 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 1o𝐴 ∈ suc ∅)
9 elsucg 6251 . . . . . . . . . 10 (𝐴N → (𝐴 ∈ suc ∅ ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
108, 9syl5bb 284 . . . . . . . . 9 (𝐴N → (𝐴 ∈ 1o ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
116, 10bitrd 280 . . . . . . . 8 (𝐴N → (𝐴 <N 1o ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
1211biimpa 477 . . . . . . 7 ((𝐴N𝐴 <N 1o) → (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅))
1312ord 858 . . . . . 6 ((𝐴N𝐴 <N 1o) → (¬ 𝐴 ∈ ∅ → 𝐴 = ∅))
143, 13mpi 20 . . . . 5 ((𝐴N𝐴 <N 1o) → 𝐴 = ∅)
1514ex 413 . . . 4 (𝐴N → (𝐴 <N 1o𝐴 = ∅))
1615necon3ad 3026 . . 3 (𝐴N → (𝐴 ≠ ∅ → ¬ 𝐴 <N 1o))
172, 16mpd 15 . 2 (𝐴N → ¬ 𝐴 <N 1o)
18 ltrelpi 10299 . . . . 5 <N ⊆ (N × N)
1918brel 5610 . . . 4 (𝐴 <N 1o → (𝐴N ∧ 1oN))
2019simpld 495 . . 3 (𝐴 <N 1o𝐴N)
2120con3i 157 . 2 𝐴N → ¬ 𝐴 <N 1o)
2217, 21pm2.61i 183 1 ¬ 𝐴 <N 1o
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 207  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  c0 4288   class class class wbr 5057  suc csuc 6186  ωcom 7569  1oc1o 8084  Ncnpi 10254   <N clti 10257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-tr 5164  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-om 7570  df-1o 8091  df-ni 10282  df-lti 10285
This theorem is referenced by:  indpi  10317  pinq  10337  archnq  10390
  Copyright terms: Public domain W3C validator