MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nltmnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nltmnf 11803
Description: No extended real is less than minus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
nltmnf (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)

Proof of Theorem nltmnf
StepHypRef Expression
1 mnfnre 9939 . . . . . . 7 -∞ ∉ ℝ
21neli 2885 . . . . . 6 ¬ -∞ ∈ ℝ
32intnan 951 . . . . 5 ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ)
43intnanr 952 . . . 4 ¬ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -∞)
5 pnfnemnf 11789 . . . . . 6 +∞ ≠ -∞
65nesymi 2839 . . . . 5 ¬ -∞ = +∞
76intnan 951 . . . 4 ¬ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞)
84, 7pm3.2ni 895 . . 3 ¬ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞))
96intnan 951 . . . 4 ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞)
102intnan 951 . . . 4 ¬ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)
119, 10pm3.2ni 895 . . 3 ¬ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ))
128, 11pm3.2ni 895 . 2 ¬ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))
13 mnfxr 11786 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
14 ltxr 11787 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 < -∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))))
1513, 14mpan2 703 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 < -∞ ↔ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ = +∞)) ∨ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ = +∞) ∨ (𝐴 = -∞ ∧ -∞ ∈ ℝ)))))
1612, 15mtbiri 316 1 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4578  cr 9792   < cltrr 9797  +∞cpnf 9928  -∞cmnf 9929  *cxr 9930   < clt 9931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936
This theorem is referenced by:  mnfle  11807  xrltnsym  11808  xrlttr  11811  qbtwnxr  11867  xltnegi  11883  xmullem2  11927  xmulasslem2  11944  xlemul1a  11950  xrsupexmnf  11966  xrsupsslem  11968  xrinfmsslem  11969  xrsup0  11984  reltxrnmnf  12002  infmremnf  12003  mnfnei  20783  blssioo  22354  deg1add  23612  icorempt2  32169  relowlssretop  32181  supxrgere  38284  supxrgelem  38288  infxrunb2  38319  iccpartiltu  39755
  Copyright terms: Public domain W3C validator