MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmblore Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmblore 27921
Description: The norm of a bounded operator is a real number. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmblore.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmblore.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmblore.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmblore.5 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
Assertion
Ref Expression
nmblore ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nmblore
StepHypRef Expression
1 nmblore.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 nmblore.2 . . . 4 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
3 nmblore.5 . . . 4 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
41, 2, 3blof 27920 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇:𝑋𝑌)
5 nmblore.3 . . . 4 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
61, 2, 5nmogtmnf 27905 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → -∞ < (𝑁𝑇))
74, 6syld3an3 1508 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → -∞ < (𝑁𝑇))
8 eqid 2748 . . . . 5 (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
95, 8, 3isblo 27917 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑇𝐵 ↔ (𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊) ∧ (𝑁𝑇) < +∞)))
109simplbda 655 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑇𝐵) → (𝑁𝑇) < +∞)
11103impa 1100 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → (𝑁𝑇) < +∞)
121, 2, 5nmoxr 27901 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ*)
134, 12syld3an3 1508 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ*)
14 xrrebnd 12163 . . 3 ((𝑁𝑇) ∈ ℝ* → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (𝑁𝑇) ∧ (𝑁𝑇) < +∞)))
1513, 14syl 17 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (𝑁𝑇) ∧ (𝑁𝑇) < +∞)))
167, 11, 15mpbir2and 995 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127   class class class wbr 4792  wf 6033  cfv 6037  (class class class)co 6801  cr 10098  +∞cpnf 10234  -∞cmnf 10235  *cxr 10236   < clt 10237  NrmCVeccnv 27719  BaseSetcba 27721   LnOp clno 27875   normOpOLD cnmoo 27876   BLnOp cblo 27877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-map 8013  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8501  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-seq 12967  df-exp 13026  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-grpo 27627  df-gid 27628  df-ginv 27629  df-ablo 27679  df-vc 27694  df-nv 27727  df-va 27730  df-ba 27731  df-sm 27732  df-0v 27733  df-nmcv 27735  df-lno 27879  df-nmoo 27880  df-blo 27881
This theorem is referenced by:  nmblolbii  27934  isblo3i  27936  blocni  27940  htthlem  28054
  Copyright terms: Public domain W3C validator