Theorem nmcfnexi 28100

Description: The norm of a continuous linear Hilbert space functional exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmcfnex.1	⊢ 𝑇 ∈ LinFn
nmcfnex.2	⊢ 𝑇 ∈ ConFn

Assertion

Ref	Expression
nmcfnexi	⊢ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ

Proof of Theorem nmcfnexi

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmcfnex.2	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ ConFn
2		ax-hv0cl 27050	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
3		1rp 11668	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4		cnfnc 27979	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ ConFn ∧ 0ℎ ∈ ℋ ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) < 1))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1415	. . 3 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) < 1)
6		hvsub0 27123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 −ℎ 0ℎ) = 𝑧)
7	6	fveq2d 6092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) = (normℎ‘𝑧))
8	7	breq1d 4587	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 ↔ (normℎ‘𝑧) < 𝑦))
9		nmcfnex.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 ∈ LinFn
10	9	lnfn0i 28091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇‘0ℎ) = 0
11	10	oveq2i 6538	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ)) = ((𝑇‘𝑧) − 0)
12	9	lnfnfi 28090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ℂ
13	12	ffvelrni 6251	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑧) ∈ ℂ)
14	13	subid1d 10232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑧) − 0) = (𝑇‘𝑧))
15	11, 14	syl5eq 2655	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘𝑧))
16	15	fveq2d 6092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) = (abs‘(𝑇‘𝑧)))
17	16	breq1d 4587	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) < 1 ↔ (abs‘(𝑇‘𝑧)) < 1))
18	8, 17	imbi12d 332	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) < 1) ↔ ((normℎ‘𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇‘𝑧)) < 1)))
19	18	ralbiia 2961	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) < 1) ↔ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇‘𝑧)) < 1))
20	19	rexbii 3022	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) < 1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇‘𝑧)) < 1))
21	5, 20	mpbi 218	. 2 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇‘𝑧)) < 1)
22		nmfnval 27925	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (normfn‘𝑇) = sup({𝑚 ∣ ∃𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 ∧ 𝑚 = (abs‘(𝑇‘𝑥)))}, ℝ*, < ))
23	12, 22	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normfn‘𝑇) = sup({𝑚 ∣ ∃𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 ∧ 𝑚 = (abs‘(𝑇‘𝑥)))}, ℝ*, < )
24	12	ffvelrni 6251	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℂ)
25	24	abscld 13969	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
26	10	fveq2i 6091	. . 3 ⊢ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = (abs‘0)
27		abs0 13819	. . 3 ⊢ (abs‘0) = 0
28	26, 27	eqtri 2631	. 2 ⊢ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = 0
29		rpcn 11673	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
30	9	lnfnmuli 28093	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑦 / 2) ·ℎ 𝑥)) = ((𝑦 / 2) · (𝑇‘𝑥)))
31	29, 30	sylan 486	. . . 4 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑦 / 2) ·ℎ 𝑥)) = ((𝑦 / 2) · (𝑇‘𝑥)))
32	31	fveq2d 6092	. . 3 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘((𝑦 / 2) ·ℎ 𝑥))) = (abs‘((𝑦 / 2) · (𝑇‘𝑥))))
33		absmul 13828	. . . 4 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℂ) → (abs‘((𝑦 / 2) · (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘(𝑦 / 2)) · (abs‘(𝑇‘𝑥))))
34	29, 24, 33	syl2an 492	. . 3 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑦 / 2) · (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘(𝑦 / 2)) · (abs‘(𝑇‘𝑥))))
35		rpre 11671	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
36		rpge0 11677	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (𝑦 / 2))
37	35, 36	absidd 13955	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (abs‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
38	37	adantr 479	. . . 4 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
39	38	oveq1d 6542	. . 3 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(𝑦 / 2)) · (abs‘(𝑇‘𝑥))) = ((𝑦 / 2) · (abs‘(𝑇‘𝑥))))
40	32, 34, 39	3eqtrrd 2648	. 2 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑦 / 2) · (abs‘(𝑇‘𝑥))) = (abs‘(𝑇‘((𝑦 / 2) ·ℎ 𝑥))))
41	21, 23, 25, 28, 40	nmcexi 28075	1 ⊢ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∈ wcel 1976  {cab 2595  ∀wral 2895  ∃wrex 2896   class class class wbr 4577  ⟶wf 5786  ‘cfv 5790  (class class class)co 6527  supcsup 8206  ℂcc 9790  ℝcr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   · cmul 9797  ℝ^*cxr 9929   < clt 9930   ≤ cle 9931   − cmin 10117   / cdiv 10533  2c2 10917  ℝ⁺crp 11664  abscabs 13768   ℋchil 26966   ·_ℎ csm 26968  norm_ℎcno 26970  0_ℎc0v 26971   −_ℎ cmv 26972  norm_fncnmf 26998  ConFnccnfn 27000  LinFnclf 27001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-hilex 27046  ax-hv0cl 27050  ax-hvaddid 27051  ax-hfvmul 27052  ax-hvmulid 27053  ax-hvmulass 27054  ax-hvmul0 27057  ax-hfi 27126  ax-his1 27129  ax-his3 27131  ax-his4 27132

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-seq 12619  df-exp 12678  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-hnorm 27015  df-hvsub 27018  df-nmfn 27894  df-cnfn 27896  df-lnfn 27897

This theorem is referenced by:  nmcfnlbi  28101  nmcfnex  28102