HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmcfnexi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmcfnexi 28100
Description: The norm of a continuous linear Hilbert space functional exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcfnex.1 𝑇 ∈ LinFn
nmcfnex.2 𝑇 ∈ ConFn
Assertion
Ref Expression
nmcfnexi (normfn𝑇) ∈ ℝ

Proof of Theorem nmcfnexi
Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmcfnex.2 . . . 4 𝑇 ∈ ConFn
2 ax-hv0cl 27050 . . . 4 0 ∈ ℋ
3 1rp 11668 . . . 4 1 ∈ ℝ+
4 cnfnc 27979 . . . 4 ((𝑇 ∈ ConFn ∧ 0 ∈ ℋ ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℋ ((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1))
51, 2, 3, 4mp3an 1415 . . 3 𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℋ ((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1)
6 hvsub0 27123 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 0) = 𝑧)
76fveq2d 6092 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℋ → (norm‘(𝑧 0)) = (norm𝑧))
87breq1d 4587 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 ↔ (norm𝑧) < 𝑦))
9 nmcfnex.1 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ∈ LinFn
109lnfn0i 28091 . . . . . . . . . 10 (𝑇‘0) = 0
1110oveq2i 6538 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝑧) − (𝑇‘0)) = ((𝑇𝑧) − 0)
129lnfnfi 28090 . . . . . . . . . . 11 𝑇: ℋ⟶ℂ
1312ffvelrni 6251 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑇𝑧) ∈ ℂ)
1413subid1d 10232 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑇𝑧) − 0) = (𝑇𝑧))
1511, 14syl5eq 2655 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑇𝑧) − (𝑇‘0)) = (𝑇𝑧))
1615fveq2d 6092 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℋ → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) = (abs‘(𝑇𝑧)))
1716breq1d 4587 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℋ → ((abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1 ↔ (abs‘(𝑇𝑧)) < 1))
188, 17imbi12d 332 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℋ → (((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1) ↔ ((norm𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇𝑧)) < 1)))
1918ralbiia 2961 . . . 4 (∀𝑧 ∈ ℋ ((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1) ↔ ∀𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇𝑧)) < 1))
2019rexbii 3022 . . 3 (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℋ ((norm‘(𝑧 0)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇𝑧) − (𝑇‘0))) < 1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇𝑧)) < 1))
215, 20mpbi 218 . 2 𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇𝑧)) < 1)
22 nmfnval 27925 . . 3 (𝑇: ℋ⟶ℂ → (normfn𝑇) = sup({𝑚 ∣ ∃𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 ∧ 𝑚 = (abs‘(𝑇𝑥)))}, ℝ*, < ))
2312, 22ax-mp 5 . 2 (normfn𝑇) = sup({𝑚 ∣ ∃𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 ∧ 𝑚 = (abs‘(𝑇𝑥)))}, ℝ*, < )
2412ffvelrni 6251 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℂ)
2524abscld 13969 . 2 (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
2610fveq2i 6091 . . 3 (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘0)
27 abs0 13819 . . 3 (abs‘0) = 0
2826, 27eqtri 2631 . 2 (abs‘(𝑇‘0)) = 0
29 rpcn 11673 . . . . 5 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
309lnfnmuli 28093 . . . . 5 (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑦 / 2) · 𝑥)) = ((𝑦 / 2) · (𝑇𝑥)))
3129, 30sylan 486 . . . 4 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑦 / 2) · 𝑥)) = ((𝑦 / 2) · (𝑇𝑥)))
3231fveq2d 6092 . . 3 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘((𝑦 / 2) · 𝑥))) = (abs‘((𝑦 / 2) · (𝑇𝑥))))
33 absmul 13828 . . . 4 (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℂ) → (abs‘((𝑦 / 2) · (𝑇𝑥))) = ((abs‘(𝑦 / 2)) · (abs‘(𝑇𝑥))))
3429, 24, 33syl2an 492 . . 3 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑦 / 2) · (𝑇𝑥))) = ((abs‘(𝑦 / 2)) · (abs‘(𝑇𝑥))))
35 rpre 11671 . . . . . 6 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
36 rpge0 11677 . . . . . 6 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (𝑦 / 2))
3735, 36absidd 13955 . . . . 5 ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (abs‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
3837adantr 479 . . . 4 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
3938oveq1d 6542 . . 3 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(𝑦 / 2)) · (abs‘(𝑇𝑥))) = ((𝑦 / 2) · (abs‘(𝑇𝑥))))
4032, 34, 393eqtrrd 2648 . 2 (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑦 / 2) · (abs‘(𝑇𝑥))) = (abs‘(𝑇‘((𝑦 / 2) · 𝑥))))
4121, 23, 25, 28, 40nmcexi 28075 1 (normfn𝑇) ∈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  {cab 2595  wral 2895  wrex 2896   class class class wbr 4577  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  supcsup 8206  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   · cmul 9797  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117   / cdiv 10533  2c2 10917  +crp 11664  abscabs 13768  chil 26966   · csm 26968  normcno 26970  0c0v 26971   cmv 26972  normfncnmf 26998  ConFnccnfn 27000  LinFnclf 27001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-hilex 27046  ax-hv0cl 27050  ax-hvaddid 27051  ax-hfvmul 27052  ax-hvmulid 27053  ax-hvmulass 27054  ax-hvmul0 27057  ax-hfi 27126  ax-his1 27129  ax-his3 27131  ax-his4 27132
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-seq 12619  df-exp 12678  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-hnorm 27015  df-hvsub 27018  df-nmfn 27894  df-cnfn 27896  df-lnfn 27897
This theorem is referenced by:  nmcfnlbi  28101  nmcfnex  28102
  Copyright terms: Public domain W3C validator