Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmcn 22694
 Description: The norm of a normed group is a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcn.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmcn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
nmcn.k 𝐾 = (topGen‘ran (,))
Assertion
Ref Expression
nmcn (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem nmcn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmcn.n . . 3 𝑁 = (norm‘𝐺)
2 eqid 2651 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3 eqid 2651 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4 eqid 2651 . . 3 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
51, 2, 3, 4nmfval 22440 . 2 𝑁 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
6 nmcn.j . . 3 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
7 nmcn.k . . 3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
8 ngpms 22451 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
9 ngptps 22453 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ TopSp)
102, 6istps 20786 . . . 4 (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
119, 10sylib 208 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
1211cnmptid 21512 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
13 ngpgrp 22450 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
142, 3grpidcl 17497 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmGrp → (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
1611, 11, 15cnmptc 21513 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (0g𝐺)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
174, 6, 7, 8, 11, 12, 16cnmpt1ds 22692 . 2 (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g𝐺))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
185, 17syl5eqel 2734 1 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ↦ cmpt 4762  ran crn 5144  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  (,)cioo 12213  Basecbs 15904  distcds 15997  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  0gc0g 16147  Grpcgrp 17469  TopOnctopon 20763  TopSpctps 20784   Cn ccn 21076  normcnm 22428  NrmGrpcngp 22429 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-ec 7789  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-ordt 16208  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-ps 17247  df-tsr 17248  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-nm 22434  df-ngp 22435 This theorem is referenced by:  ngnmcncn  22695  abscn  22696
 Copyright terms: Public domain W3C validator