Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmcopex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmcopex 28758
 Description: The norm of a continuous linear Hilbert space operator exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmcopex ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp) → (normop𝑇) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nmcopex
StepHypRef Expression
1 elin 3779 . 2 (𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp) ↔ (𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp))
2 fveq2 6153 . . . 4 (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → (normop𝑇) = (normop‘if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))))
32eleq1d 2683 . . 3 (𝑇 = if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) → ((normop𝑇) ∈ ℝ ↔ (normop‘if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))) ∈ ℝ))
4 idlnop 28721 . . . . . . . 8 ( I ↾ ℋ) ∈ LinOp
5 idcnop 28710 . . . . . . . 8 ( I ↾ ℋ) ∈ ContOp
6 elin 3779 . . . . . . . 8 (( I ↾ ℋ) ∈ (LinOp ∩ ContOp) ↔ (( I ↾ ℋ) ∈ LinOp ∧ ( I ↾ ℋ) ∈ ContOp))
74, 5, 6mpbir2an 954 . . . . . . 7 ( I ↾ ℋ) ∈ (LinOp ∩ ContOp)
87elimel 4127 . . . . . 6 if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ (LinOp ∩ ContOp)
9 elin 3779 . . . . . 6 (if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ (LinOp ∩ ContOp) ↔ (if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp ∧ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp))
108, 9mpbi 220 . . . . 5 (if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp ∧ if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp)
1110simpli 474 . . . 4 if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ LinOp
1210simpri 478 . . . 4 if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ)) ∈ ContOp
1311, 12nmcopexi 28756 . . 3 (normop‘if(𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp), 𝑇, ( I ↾ ℋ))) ∈ ℝ
143, 13dedth 4116 . 2 (𝑇 ∈ (LinOp ∩ ContOp) → (normop𝑇) ∈ ℝ)
151, 14sylbir 225 1 ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ∈ ContOp) → (normop𝑇) ∈ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ∩ cin 3558  ifcif 4063   I cid 4989   ↾ cres 5081  ‘cfv 5852  ℝcr 9887   ℋchil 27646  normopcnop 27672  ContOpccop 27673  LinOpclo 27674 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-hilex 27726  ax-hfvadd 27727  ax-hvcom 27728  ax-hvass 27729  ax-hv0cl 27730  ax-hvaddid 27731  ax-hfvmul 27732  ax-hvmulid 27733  ax-hvmulass 27734  ax-hvdistr2 27736  ax-hvmul0 27737  ax-hfi 27806  ax-his1 27809  ax-his2 27810  ax-his3 27811  ax-his4 27812 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-sup 8300  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-hnorm 27695  df-hvsub 27698  df-nmop 28568  df-cnop 28569  df-lnop 28570  df-unop 28572 This theorem is referenced by:  lnopconi  28763  lnopcnbd  28765
 Copyright terms: Public domain W3C validator