MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmcvcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmcvcn 27420
Description: The norm of a normed complex vector space is a continuous function. (Contributed by NM, 16-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcvcn.1 𝑁 = (normCV𝑈)
nmcvcn.2 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
nmcvcn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
nmcvcn.k 𝐾 = (topGen‘ran (,))
Assertion
Ref Expression
nmcvcn (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem nmcvcn
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . 3 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2 nmcvcn.1 . . 3 𝑁 = (normCV𝑈)
31, 2nvf 27385 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁:(BaseSet‘𝑈)⟶ℝ)
4 simprr 795 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
51, 2nvcl 27386 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁𝑥) ∈ ℝ)
65ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) → (𝑁𝑥) ∈ ℝ))
71, 2nvcl 27386 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
87ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ))
96, 8anim12d 585 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ NrmCVec → ((𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑦) ∈ ℝ)))
10 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
1110remet 22516 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
12 metcl 22060 . . . . . . . . . . . . 13 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ) ∧ (𝑁𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑦) ∈ ℝ) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ)
1311, 12mp3an1 1408 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑦) ∈ ℝ) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ)
149, 13syl6 35 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ NrmCVec → ((𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ))
15143impib 1259 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ)
16 nmcvcn.2 . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
171, 16imsmet 27416 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)))
18 metcl 22060 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ (Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ)
1917, 18syl3an1 1356 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ)
20 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
21 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
221, 20, 21, 2nvabs 27397 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (abs‘((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦))) ≤ (𝑁‘(𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))))
2393impib 1259 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑦) ∈ ℝ))
2410remetdval 22515 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑦) ∈ ℝ) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) = (abs‘((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦))))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) = (abs‘((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦))))
261, 20, 21, 2, 16imsdval2 27412 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥𝐶𝑦) = (𝑁‘(𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))))
2722, 25, 263brtr4d 4650 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦))
2815, 19, 27jca31 556 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦)))
29283expa 1262 . . . . . . . 8 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦)))
30 rpre 11791 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ)
31 lelttr 10080 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦) ∧ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑒) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
32313expa 1262 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦) ∧ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑒) → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
3332expdimp 453 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) ∧ ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦)) → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
3433an32s 845 . . . . . . . 8 ((((((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑦) ∈ ℝ) ∧ ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) ≤ (𝑥𝐶𝑦)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
3529, 30, 34syl2an 494 . . . . . . 7 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
3635ex 450 . . . . . 6 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) ∧ 𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑒 ∈ ℝ+ → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒)))
3736ralrimdva 2964 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑒 ∈ ℝ+ → ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒)))
3837impr 648 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
39 breq2 4622 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑒 → ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 ↔ (𝑥𝐶𝑦) < 𝑒))
4039imbi1d 331 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑒 → (((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒) ↔ ((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒)))
4140ralbidv 2981 . . . . 5 (𝑑 = 𝑒 → (∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒) ↔ ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒)))
4241rspcev 3298 . . . 4 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑒 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
434, 38, 42syl2anc 692 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
4443ralrimivva 2966 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))
451, 16imsxmet 27417 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)))
4610rexmet 22517 . . 3 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
47 nmcvcn.j . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
48 nmcvcn.k . . . . 5 𝐾 = (topGen‘ran (,))
49 eqid 2621 . . . . . 6 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
5010, 49tgioo 22522 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
5148, 50eqtri 2643 . . . 4 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
5247, 51metcn 22271 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑈)) ∧ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)) → (𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑁:(BaseSet‘𝑈)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))))
5345, 46, 52sylancl 693 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑁:(BaseSet‘𝑈)⟶ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (BaseSet‘𝑈)∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (BaseSet‘𝑈)((𝑥𝐶𝑦) < 𝑑 → ((𝑁𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝑁𝑦)) < 𝑒))))
543, 44, 53mpbir2and 956 1 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908   class class class wbr 4618   × cxp 5077  ran crn 5080  cres 5081  ccom 5083  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  cr 9887  1c1 9889   < clt 10026  cle 10027  cmin 10218  -cneg 10219  +crp 11784  (,)cioo 12125  abscabs 13916  topGenctg 16030  ∞Metcxmt 19663  Metcme 19664  MetOpencmopn 19668   Cn ccn 20951  NrmCVeccnv 27309   +𝑣 cpv 27310  BaseSetcba 27311   ·𝑠OLD cns 27312  normCVcnmcv 27315  IndMetcims 27316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ioo 12129  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-topgen 16036  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-top 20631  df-topon 20648  df-bases 20674  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-grpo 27217  df-gid 27218  df-ginv 27219  df-gdiv 27220  df-ablo 27269  df-vc 27284  df-nv 27317  df-va 27320  df-ba 27321  df-sm 27322  df-0v 27323  df-vs 27324  df-nmcv 27325  df-ims 27326
This theorem is referenced by:  nmcnc  27421
  Copyright terms: Public domain W3C validator