Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmeq0 22403
 Description: The identity is the only element of the group with zero norm. First part of Problem 2 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmf.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmeq0.z 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
nmeq0 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))

Proof of Theorem nmeq0
StepHypRef Expression
1 nmf.n . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝐺)
2 nmf.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 nmeq0.z . . . . 5 0 = (0g𝐺)
4 eqid 2620 . . . . 5 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
51, 2, 3, 4nmval 22375 . . . 4 (𝐴𝑋 → (𝑁𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺) 0 ))
65adantl 482 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺) 0 ))
76eqeq1d 2622 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) = 0 ↔ (𝐴(dist‘𝐺) 0 ) = 0))
8 ngpgrp 22384 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
98adantr 481 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
102, 3grpidcl 17431 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 0𝑋)
119, 10syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → 0𝑋)
12 ngpxms 22386 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
132, 4xmseq0 22250 . . . 4 ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴𝑋0𝑋) → ((𝐴(dist‘𝐺) 0 ) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
1412, 13syl3an1 1357 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋0𝑋) → ((𝐴(dist‘𝐺) 0 ) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
1511, 14mpd3an3 1423 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐴(dist‘𝐺) 0 ) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
167, 15bitrd 268 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  0cc0 9921  Basecbs 15838  distcds 15931  0gc0g 16081  Grpcgrp 17403  ∞MetSpcxme 22103  normcnm 22362  NrmGrpcngp 22363 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-inf 8334  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-0g 16083  df-topgen 16085  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-grp 17406  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-xms 22106  df-ms 22107  df-nm 22368  df-ngp 22369 This theorem is referenced by:  nmne0  22404  ngpi  22413  nm0  22414  nmgt0  22415  tngngp  22439  tngngp3  22441  nlmmul0or  22468  nmoeq0  22521  ncvs1  22938
 Copyright terms: Public domain W3C validator