Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmge0 22468
 Description: The norm of a normed group is nonnegative. Second part of Problem 2 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmf.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
nmge0 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → 0 ≤ (𝑁𝐴))

Proof of Theorem nmge0
StepHypRef Expression
1 ngpgrp 22450 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2 nmf.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 eqid 2651 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
42, 3grpidcl 17497 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
51, 4syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmGrp → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
65adantr 480 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
7 ngpxms 22452 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
8 eqid 2651 . . . . 5 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
92, 8xmsge0 22315 . . . 4 ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
107, 9syl3an1 1399 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
116, 10mpd3an3 1465 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → 0 ≤ (𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
12 nmf.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝐺)
1312, 2, 3, 8nmval 22441 . . 3 (𝐴𝑋 → (𝑁𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
1413adantl 481 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
1511, 14breqtrrd 4713 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974   ≤ cle 10113  Basecbs 15904  distcds 15997  0gc0g 16147  Grpcgrp 17469  ∞MetSpcxme 22169  normcnm 22428  NrmGrpcngp 22429 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-0g 16149  df-topgen 16151  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-xms 22172  df-ms 22173  df-nm 22434  df-ngp 22435 This theorem is referenced by:  nmrpcl  22471  nmgt0  22481  nlmvscnlem2  22536  nlmvscnlem1  22537  nmoeq0  22587  nmoleub2lem3  22961  ipcnlem2  23089  ipcnlem1  23090  minveclem1  23241  minveclem6  23251  pjthlem1  23254
 Copyright terms: Public domain W3C validator