MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmhmplusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmhmplusg 22300
Description: The sum of two bounded linear operators is bounded linear. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
nmhmplusg.p + = (+g𝑇)
Assertion
Ref Expression
nmhmplusg ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇))

Proof of Theorem nmhmplusg
StepHypRef Expression
1 nmhmrcl1 22290 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ NrmMod)
2 nmhmrcl2 22291 . . 3 (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ NrmMod)
31, 2anim12i 587 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod))
4 nmhmlmhm 22292 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
5 nmhmlmhm 22292 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
6 nmhmplusg.p . . . . 5 + = (+g𝑇)
76lmhmplusg 18808 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
84, 5, 7syl2an 492 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
9 nlmlmod 22222 . . . . . 6 (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ LMod)
10 lmodabl 18676 . . . . . 6 (𝑇 ∈ LMod → 𝑇 ∈ Abel)
112, 9, 103syl 18 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ Abel)
1211adantl 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → 𝑇 ∈ Abel)
13 nmhmnghm 22293 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
1413adantr 479 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
15 nmhmnghm 22293 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) → 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
1615adantl 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
176nghmplusg 22283 . . . 4 ((𝑇 ∈ Abel ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)) → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
1812, 14, 16, 17syl3anc 1317 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
198, 18jca 552 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → ((𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)))
20 isnmhm 22289 . 2 ((𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) ∧ ((𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))))
213, 19, 20sylanbrc 694 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ∧ 𝐺 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇)) → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (𝑆 NMHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  cfv 5787  (class class class)co 6524  𝑓 cof 6767  +gcplusg 15711  Abelcabl 17960  LModclmod 18629   LMHom clmhm 18783  NrmModcnlm 22133   NGHom cnghm 22249   NMHom cnmhm 22250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-of 6769  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-er 7603  df-map 7720  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-sup 8205  df-inf 8206  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-q 11618  df-rp 11662  df-xneg 11775  df-xadd 11776  df-xmul 11777  df-ico 12005  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-plusg 15724  df-0g 15868  df-topgen 15870  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-grp 17191  df-minusg 17192  df-sbg 17193  df-ghm 17424  df-cmn 17961  df-abl 17962  df-mgp 18256  df-ur 18268  df-ring 18315  df-lmod 18631  df-lmhm 18786  df-psmet 19502  df-xmet 19503  df-met 19504  df-bl 19505  df-mopn 19506  df-top 20460  df-bases 20461  df-topon 20462  df-topsp 20463  df-xms 21873  df-ms 21874  df-nm 22135  df-ngp 22136  df-nlm 22139  df-nmo 22251  df-nghm 22252  df-nmhm 22253
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator