MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nminvr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nminvr 22383
Description: The norm of an inverse in a nonzero normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nminvr.n 𝑁 = (norm‘𝑅)
nminvr.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
nminvr.i 𝐼 = (invr𝑅)
Assertion
Ref Expression
nminvr ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → (𝑁‘(𝐼𝐴)) = (1 / (𝑁𝐴)))

Proof of Theorem nminvr
StepHypRef Expression
1 nrgngp 22376 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
213ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
3 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 nminvr.u . . . . . 6 𝑈 = (Unit‘𝑅)
53, 4unitcl 18580 . . . . 5 (𝐴𝑈𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
653ad2ant3 1082 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
7 nminvr.n . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝑅)
83, 7nmcl 22330 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
92, 6, 8syl2anc 692 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
109recnd 10012 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → (𝑁𝐴) ∈ ℂ)
11 nzrring 19180 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
12113ad2ant2 1081 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
13 simp3 1061 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → 𝐴𝑈)
14 nminvr.i . . . . . 6 𝐼 = (invr𝑅)
154, 14, 3ringinvcl 18597 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑈) → (𝐼𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
1612, 13, 15syl2anc 692 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → (𝐼𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
173, 7nmcl 22330 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝐼𝐴) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘(𝐼𝐴)) ∈ ℝ)
182, 16, 17syl2anc 692 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → (𝑁‘(𝐼𝐴)) ∈ ℝ)
1918recnd 10012 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → (𝑁‘(𝐼𝐴)) ∈ ℂ)
207, 4unitnmn0 22382 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → (𝑁𝐴) ≠ 0)
21 eqid 2621 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
22 eqid 2621 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
234, 14, 21, 22unitrinv 18599 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑈) → (𝐴(.r𝑅)(𝐼𝐴)) = (1r𝑅))
2412, 13, 23syl2anc 692 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → (𝐴(.r𝑅)(𝐼𝐴)) = (1r𝑅))
2524fveq2d 6152 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → (𝑁‘(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝐴))) = (𝑁‘(1r𝑅)))
26 simp1 1059 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → 𝑅 ∈ NrmRing)
273, 7, 21nmmul 22378 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐼𝐴) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝐴))) = ((𝑁𝐴) · (𝑁‘(𝐼𝐴))))
2826, 6, 16, 27syl3anc 1323 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → (𝑁‘(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝐴))) = ((𝑁𝐴) · (𝑁‘(𝐼𝐴))))
297, 22nm1 22381 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑁‘(1r𝑅)) = 1)
30293adant3 1079 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → (𝑁‘(1r𝑅)) = 1)
3125, 28, 303eqtr3d 2663 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → ((𝑁𝐴) · (𝑁‘(𝐼𝐴))) = 1)
3210, 19, 20, 31mvllmuld 10801 1 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → (𝑁‘(𝐼𝐴)) = (1 / (𝑁𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  1c1 9881   · cmul 9885   / cdiv 10628  Basecbs 15781  .rcmulr 15863  1rcur 18422  Ringcrg 18468  Unitcui 18560  invrcinvr 18592  NzRingcnzr 19176  normcnm 22291  NrmGrpcngp 22292  NrmRingcnrg 22294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ico 12123  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-0g 16023  df-topgen 16025  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-abv 18738  df-nzr 19177  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-xms 22035  df-ms 22036  df-nm 22297  df-ngp 22298  df-nrg 22300
This theorem is referenced by:  nmdvr  22384
  Copyright terms: Public domain W3C validator