Theorem nminvr 23272

Description: The norm of an inverse in a nonzero normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nminvr.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
nminvr.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
nminvr.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nminvr	⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(𝐼‘𝐴)) = (1 / (𝑁‘𝐴)))

Proof of Theorem nminvr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrgngp 23265	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
2	1	3ad2ant1 1129	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
3		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		nminvr.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
5	3, 4	unitcl 19403	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
6	5	3ad2ant3 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
7		nminvr.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
8	3, 7	nmcl 23219	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
9	2, 6, 8	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	recnd 10663	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ)
11		nzrring 20028	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
12	11	3ad2ant2 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simp3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ 𝑈)
14		nminvr.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
15	4, 14, 3	ringinvcl 19420	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
16	12, 13, 15	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐼‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
17	3, 7	nmcl 23219	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝐼‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘(𝐼‘𝐴)) ∈ ℝ)
18	2, 16, 17	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(𝐼‘𝐴)) ∈ ℝ)
19	18	recnd 10663	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(𝐼‘𝐴)) ∈ ℂ)
20	7, 4	unitnmn0 23271	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ≠ 0)
21		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
22		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
23	4, 14, 21, 22	unitrinv 19422	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
24	12, 13, 23	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
25	24	fveq2d 6669	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝐴))) = (𝑁‘(1r‘𝑅)))
26		simp1 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ NrmRing)
27	3, 7, 21	nmmul 23267	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐼‘𝐴) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝐴))) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐼‘𝐴))))
28	26, 6, 16, 27	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(𝐴(.r‘𝑅)(𝐼‘𝐴))) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐼‘𝐴))))
29	7, 22	nm1 23270	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) = 1)
30	29	3adant3 1128	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) = 1)
31	25, 28, 30	3eqtr3d 2864	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘(𝐼‘𝐴))) = 1)
32	10, 19, 20, 31	mvllmuld 11466	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(𝐼‘𝐴)) = (1 / (𝑁‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  1c1 10532   · cmul 10536   / cdiv 11291  Basecbs 16477  ._rcmulr 16560  1_rcur 19245  Ringcrg 19291  Unitcui 19383  inv_rcinvr 19415  NzRingcnzr 20024  normcnm 23180  NrmGrpcngp 23181  NrmRingcnrg 23183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ico 12738  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-0g 16709  df-topgen 16711  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-abv 19582  df-nzr 20025  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-xms 22924  df-ms 22925  df-nm 23186  df-ngp 23187  df-nrg 23189

This theorem is referenced by:  nmdvr  23273