MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmlnoubi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmlnoubi 27500
Description: An upper bound for the operator norm of a linear operator, using only the properties of nonzero arguments. (Contributed by NM, 1-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmlnoubi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmlnoubi.z 𝑍 = (0vec𝑈)
nmlnoubi.k 𝐾 = (normCV𝑈)
nmlnoubi.m 𝑀 = (normCV𝑊)
nmlnoubi.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmlnoubi.7 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
nmlnoubi.u 𝑈 ∈ NrmCVec
nmlnoubi.w 𝑊 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmlnoubi ((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)))) → (𝑁𝑇) ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐾   𝑥,𝐿   𝑥,𝑀   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem nmlnoubi
StepHypRef Expression
1 fveq2 6148 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑍 → (𝑇𝑥) = (𝑇𝑍))
21fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) = (𝑀‘(𝑇𝑍)))
3 fveq2 6148 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑍 → (𝐾𝑥) = (𝐾𝑍))
43oveq2d 6620 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑍 → (𝐴 · (𝐾𝑥)) = (𝐴 · (𝐾𝑍)))
52, 4breq12d 4626 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑍 → ((𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝑇𝑍)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑍))))
6 id 22 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥))) → (𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥))))
76imp 445 . . . . . . 7 (((𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥))) ∧ 𝑥𝑍) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)))
87adantll 749 . . . . . 6 ((((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)))) ∧ 𝑥𝑍) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)))
9 0le0 11054 . . . . . . . 8 0 ≤ 0
10 nmlnoubi.u . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 ∈ NrmCVec
11 nmlnoubi.w . . . . . . . . . . . . 13 𝑊 ∈ NrmCVec
12 nmlnoubi.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
13 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . 14 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
14 nmlnoubi.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (0vec𝑈)
15 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . 14 (0vec𝑊) = (0vec𝑊)
16 nmlnoubi.7 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
1712, 13, 14, 15, 16lno0 27460 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇𝑍) = (0vec𝑊))
1810, 11, 17mp3an12 1411 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇𝐿 → (𝑇𝑍) = (0vec𝑊))
1918fveq2d 6152 . . . . . . . . . . 11 (𝑇𝐿 → (𝑀‘(𝑇𝑍)) = (𝑀‘(0vec𝑊)))
20 nmlnoubi.m . . . . . . . . . . . . 13 𝑀 = (normCV𝑊)
2115, 20nvz0 27372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑀‘(0vec𝑊)) = 0)
2211, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑀‘(0vec𝑊)) = 0
2319, 22syl6eq 2671 . . . . . . . . . 10 (𝑇𝐿 → (𝑀‘(𝑇𝑍)) = 0)
2423adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑇𝑍)) = 0)
25 nmlnoubi.k . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (normCV𝑈)
2614, 25nvz0 27372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐾𝑍) = 0)
2710, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾𝑍) = 0
2827oveq2i 6615 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 · (𝐾𝑍)) = (𝐴 · 0)
29 recn 9970 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3029mul01d 10179 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
3128, 30syl5eq 2667 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · (𝐾𝑍)) = 0)
3231ad2antrl 763 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐴 · (𝐾𝑍)) = 0)
3324, 32breq12d 4626 . . . . . . . 8 ((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝑇𝑍)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑍)) ↔ 0 ≤ 0))
349, 33mpbiri 248 . . . . . . 7 ((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑇𝑍)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑍)))
3534adantr 481 . . . . . 6 (((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)))) → (𝑀‘(𝑇𝑍)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑍)))
365, 8, 35pm2.61ne 2875 . . . . 5 (((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ (𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)))) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)))
3736ex 450 . . . 4 ((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → ((𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥))) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥))))
3837ralimdv 2957 . . 3 ((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (∀𝑥𝑋 (𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥))) → ∀𝑥𝑋 (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥))))
39383impia 1258 . 2 ((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)))) → ∀𝑥𝑋 (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)))
4012, 13, 16lnof 27459 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
4110, 11, 40mp3an12 1411 . . 3 (𝑇𝐿𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
42 nmlnoubi.3 . . . 4 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
4312, 13, 25, 20, 42, 10, 11nmoub2i 27478 . . 3 ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥))) → (𝑁𝑇) ≤ 𝐴)
4441, 43syl3an1 1356 . 2 ((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥))) → (𝑁𝑇) ≤ 𝐴)
4539, 44syld3an3 1368 1 ((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑥𝑍 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐾𝑥)))) → (𝑁𝑇) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907   class class class wbr 4613  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880   · cmul 9885  cle 10019  NrmCVeccnv 27288  BaseSetcba 27290  0veccn0v 27292  normCVcnmcv 27294   LnOp clno 27444   normOpOLD cnmoo 27445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-grpo 27196  df-gid 27197  df-ginv 27198  df-ablo 27248  df-vc 27263  df-nv 27296  df-va 27299  df-ba 27300  df-sm 27301  df-0v 27302  df-nmcv 27304  df-lno 27448  df-nmoo 27449
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator