Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmobndi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmobndi 27600
 Description: Two ways to express that an operator is bounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoubi.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoubi.l 𝐿 = (normCV𝑈)
nmoubi.m 𝑀 = (normCV𝑊)
nmoubi.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmoubi.u 𝑈 ∈ NrmCVec
nmoubi.w 𝑊 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmobndi (𝑇:𝑋𝑌 → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑟,𝐿   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑌,𝑟,𝑦   𝑀,𝑟,𝑦   𝑇,𝑟,𝑦   𝑋,𝑟,𝑦   𝑁,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑟)   𝑊(𝑟)

Proof of Theorem nmobndi
StepHypRef Expression
1 leid 10118 . . . 4 ((𝑁𝑇) ∈ ℝ → (𝑁𝑇) ≤ (𝑁𝑇))
2 breq2 4648 . . . . 5 (𝑟 = (𝑁𝑇) → ((𝑁𝑇) ≤ 𝑟 ↔ (𝑁𝑇) ≤ (𝑁𝑇)))
32rspcev 3304 . . . 4 (((𝑁𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑇) ≤ (𝑁𝑇)) → ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟)
41, 3mpdan 701 . . 3 ((𝑁𝑇) ∈ ℝ → ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟)
5 nmoubi.u . . . . . . 7 𝑈 ∈ NrmCVec
6 nmoubi.w . . . . . . 7 𝑊 ∈ NrmCVec
7 nmoubi.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
8 nmoubi.y . . . . . . . 8 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
9 nmoubi.3 . . . . . . . 8 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
107, 8, 9nmoxr 27591 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ*)
115, 6, 10mp3an12 1412 . . . . . 6 (𝑇:𝑋𝑌 → (𝑁𝑇) ∈ ℝ*)
1211adantr 481 . . . . 5 ((𝑇:𝑋𝑌 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟)) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ*)
13 simprl 793 . . . . 5 ((𝑇:𝑋𝑌 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
147, 8, 9nmogtmnf 27595 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → -∞ < (𝑁𝑇))
155, 6, 14mp3an12 1412 . . . . . 6 (𝑇:𝑋𝑌 → -∞ < (𝑁𝑇))
1615adantr 481 . . . . 5 ((𝑇:𝑋𝑌 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟)) → -∞ < (𝑁𝑇))
17 simprr 795 . . . . 5 ((𝑇:𝑋𝑌 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟)) → (𝑁𝑇) ≤ 𝑟)
18 xrre 11985 . . . . 5 ((((𝑁𝑇) ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (𝑁𝑇) ∧ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟)) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ)
1912, 13, 16, 17, 18syl22anc 1325 . . . 4 ((𝑇:𝑋𝑌 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟)) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ)
2019rexlimdvaa 3028 . . 3 (𝑇:𝑋𝑌 → (∃𝑟 ∈ ℝ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟 → (𝑁𝑇) ∈ ℝ))
214, 20impbid2 216 . 2 (𝑇:𝑋𝑌 → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟))
22 rexr 10070 . . . 4 (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 ∈ ℝ*)
23 nmoubi.l . . . . 5 𝐿 = (normCV𝑈)
24 nmoubi.m . . . . 5 𝑀 = (normCV𝑊)
257, 8, 23, 24, 9, 5, 6nmoubi 27597 . . . 4 ((𝑇:𝑋𝑌𝑟 ∈ ℝ*) → ((𝑁𝑇) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟)))
2622, 25sylan2 491 . . 3 ((𝑇:𝑋𝑌𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑇) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟)))
2726rexbidva 3045 . 2 (𝑇:𝑋𝑌 → (∃𝑟 ∈ ℝ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟 ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟)))
2821, 27bitrd 268 1 (𝑇:𝑋𝑌 → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  ∀wral 2909  ∃wrex 2910   class class class wbr 4644  ⟶wf 5872  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  ℝcr 9920  1c1 9922  -∞cmnf 10057  ℝ*cxr 10058   < clt 10059   ≤ cle 10060  NrmCVeccnv 27409  BaseSetcba 27411  normCVcnmcv 27415   normOpOLD cnmoo 27566 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-seq 12785  df-exp 12844  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-grpo 27317  df-gid 27318  df-ginv 27319  df-ablo 27369  df-vc 27384  df-nv 27417  df-va 27420  df-ba 27421  df-sm 27422  df-0v 27423  df-nmcv 27425  df-nmoo 27570 This theorem is referenced by:  nmounbi  27601  nmobndseqi  27604  nmobndseqiALT  27605  htthlem  27744
 Copyright terms: Public domain W3C validator