MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmobndi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmobndi 28479
Description: Two ways to express that an operator is bounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoubi.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoubi.l 𝐿 = (normCV𝑈)
nmoubi.m 𝑀 = (normCV𝑊)
nmoubi.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmoubi.u 𝑈 ∈ NrmCVec
nmoubi.w 𝑊 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmobndi (𝑇:𝑋𝑌 → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑟,𝐿   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑌,𝑟,𝑦   𝑀,𝑟,𝑦   𝑇,𝑟,𝑦   𝑋,𝑟,𝑦   𝑁,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑟)   𝑊(𝑟)

Proof of Theorem nmobndi
StepHypRef Expression
1 leid 10724 . . . 4 ((𝑁𝑇) ∈ ℝ → (𝑁𝑇) ≤ (𝑁𝑇))
2 breq2 5061 . . . . 5 (𝑟 = (𝑁𝑇) → ((𝑁𝑇) ≤ 𝑟 ↔ (𝑁𝑇) ≤ (𝑁𝑇)))
32rspcev 3620 . . . 4 (((𝑁𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑇) ≤ (𝑁𝑇)) → ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟)
41, 3mpdan 683 . . 3 ((𝑁𝑇) ∈ ℝ → ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟)
5 nmoubi.u . . . . . . 7 𝑈 ∈ NrmCVec
6 nmoubi.w . . . . . . 7 𝑊 ∈ NrmCVec
7 nmoubi.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
8 nmoubi.y . . . . . . . 8 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
9 nmoubi.3 . . . . . . . 8 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
107, 8, 9nmoxr 28470 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ*)
115, 6, 10mp3an12 1442 . . . . . 6 (𝑇:𝑋𝑌 → (𝑁𝑇) ∈ ℝ*)
1211adantr 481 . . . . 5 ((𝑇:𝑋𝑌 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟)) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ*)
13 simprl 767 . . . . 5 ((𝑇:𝑋𝑌 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
147, 8, 9nmogtmnf 28474 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → -∞ < (𝑁𝑇))
155, 6, 14mp3an12 1442 . . . . . 6 (𝑇:𝑋𝑌 → -∞ < (𝑁𝑇))
1615adantr 481 . . . . 5 ((𝑇:𝑋𝑌 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟)) → -∞ < (𝑁𝑇))
17 simprr 769 . . . . 5 ((𝑇:𝑋𝑌 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟)) → (𝑁𝑇) ≤ 𝑟)
18 xrre 12550 . . . . 5 ((((𝑁𝑇) ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (𝑁𝑇) ∧ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟)) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ)
1912, 13, 16, 17, 18syl22anc 834 . . . 4 ((𝑇:𝑋𝑌 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟)) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ)
2019rexlimdvaa 3282 . . 3 (𝑇:𝑋𝑌 → (∃𝑟 ∈ ℝ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟 → (𝑁𝑇) ∈ ℝ))
214, 20impbid2 227 . 2 (𝑇:𝑋𝑌 → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟))
22 rexr 10675 . . . 4 (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 ∈ ℝ*)
23 nmoubi.l . . . . 5 𝐿 = (normCV𝑈)
24 nmoubi.m . . . . 5 𝑀 = (normCV𝑊)
257, 8, 23, 24, 9, 5, 6nmoubi 28476 . . . 4 ((𝑇:𝑋𝑌𝑟 ∈ ℝ*) → ((𝑁𝑇) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟)))
2622, 25sylan2 592 . . 3 ((𝑇:𝑋𝑌𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑇) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟)))
2726rexbidva 3293 . 2 (𝑇:𝑋𝑌 → (∃𝑟 ∈ ℝ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟 ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟)))
2821, 27bitrd 280 1 (𝑇:𝑋𝑌 → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136   class class class wbr 5057  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  1c1 10526  -∞cmnf 10661  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  NrmCVeccnv 28288  BaseSetcba 28290  normCVcnmcv 28294   normOpOLD cnmoo 28445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-grpo 28197  df-gid 28198  df-ginv 28199  df-ablo 28249  df-vc 28263  df-nv 28296  df-va 28299  df-ba 28300  df-sm 28301  df-0v 28302  df-nmcv 28304  df-nmoo 28449
This theorem is referenced by:  nmounbi  28480  nmobndseqi  28483  nmobndseqiALT  28484  htthlem  28621
  Copyright terms: Public domain W3C validator