MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoeq0 23272
Description: The operator norm is zero only for the zero operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmo0.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmo0.2 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmo0.3 0 = (0g𝑇)
Assertion
Ref Expression
nmoeq0 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (𝑉 × { 0 })))

Proof of Theorem nmoeq0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝐹) = 0 → (𝑁𝐹) = 0)
2 0re 10631 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
31, 2syl6eqel 2918 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝐹) = 0 → (𝑁𝐹) ∈ ℝ)
4 nmo0.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
54isnghm2 23260 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ (𝑁𝐹) ∈ ℝ))
65biimpar 478 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
73, 6sylan2 592 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
8 nmo0.2 . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑆)
9 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
10 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
114, 8, 9, 10nmoi 23264 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑥𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) ≤ ((𝑁𝐹) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
127, 11sylan 580 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) ≤ ((𝑁𝐹) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
13 simplr 765 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑁𝐹) = 0)
1413oveq1d 7160 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝑁𝐹) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = (0 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
15 simpl1 1183 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
168, 9nmcl 23152 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
1715, 16sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
1817recnd 10657 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℂ)
1918mul02d 10826 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → (0 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = 0)
2014, 19eqtrd 2853 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝑁𝐹) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = 0)
2112, 20breqtrd 5083 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) ≤ 0)
22 simpll2 1205 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
23 simpl3 1185 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
24 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
258, 24ghmf 18300 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
2623, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
2726ffvelrnda 6843 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑇))
2824, 10nmge0 23153 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → 0 ≤ ((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)))
2922, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → 0 ≤ ((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)))
3024, 10nmcl 23152 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
3122, 27, 30syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
32 letri3 10714 . . . . . . . 8 ((((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) = 0 ↔ (((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)))))
3331, 2, 32sylancl 586 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → (((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) = 0 ↔ (((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)))))
3421, 29, 33mpbir2and 709 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) = 0)
35 nmo0.3 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑇)
3624, 10, 35nmeq0 23154 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → (((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) = 0 ↔ (𝐹𝑥) = 0 ))
3722, 27, 36syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → (((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) = 0 ↔ (𝐹𝑥) = 0 ))
3834, 37mpbid 233 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐹𝑥) = 0 )
3938mpteq2dva 5152 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) → (𝑥𝑉 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝑉0 ))
4026feqmptd 6726 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) → 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ (𝐹𝑥)))
41 fconstmpt 5607 . . . . 5 (𝑉 × { 0 }) = (𝑥𝑉0 )
4241a1i 11 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) → (𝑉 × { 0 }) = (𝑥𝑉0 ))
4339, 40, 423eqtr4d 2863 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) → 𝐹 = (𝑉 × { 0 }))
4443ex 413 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁𝐹) = 0 → 𝐹 = (𝑉 × { 0 })))
454, 8, 35nmo0 23271 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0)
46453adant3 1124 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0)
47 fveqeq2 6672 . . 3 (𝐹 = (𝑉 × { 0 }) → ((𝑁𝐹) = 0 ↔ (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0))
4846, 47syl5ibrcom 248 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 = (𝑉 × { 0 }) → (𝑁𝐹) = 0))
4944, 48impbid 213 1 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (𝑉 × { 0 })))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  {csn 4557   class class class wbr 5057  cmpt 5137   × cxp 5546  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525   · cmul 10530  cle 10664  Basecbs 16471  0gc0g 16701   GrpHom cghm 18293  normcnm 23113  NrmGrpcngp 23114   normOp cnmo 23241   NGHom cnghm 23242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ico 12732  df-0g 16703  df-topgen 16705  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-grp 18044  df-ghm 18294  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-xms 22857  df-ms 22858  df-nm 23119  df-ngp 23120  df-nmo 23244  df-nghm 23245
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator