MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmogelb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmogelb 23252
Description: Property of the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmofval.2 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmofval.3 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmofval.4 𝑀 = (norm‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
nmogelb (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ (𝑁𝐹) ↔ ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) → 𝐴𝑟)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝐿   𝑀,𝑟,𝑥   𝑆,𝑟,𝑥   𝑇,𝑟,𝑥   𝐴,𝑟,𝑥   𝐹,𝑟,𝑥   𝑉,𝑟,𝑥   𝑁,𝑟,𝑥

Proof of Theorem nmogelb
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmofval.1 . . . 4 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2 nmofval.2 . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑆)
3 nmofval.3 . . . 4 𝐿 = (norm‘𝑆)
4 nmofval.4 . . . 4 𝑀 = (norm‘𝑇)
51, 2, 3, 4nmoval 23251 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁𝐹) = inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥))}, ℝ*, < ))
65breq2d 5069 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐴 ≤ (𝑁𝐹) ↔ 𝐴 ≤ inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥))}, ℝ*, < )))
7 ssrab2 4053 . . . . 5 {𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥))} ⊆ (0[,)+∞)
8 icossxr 12809 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
97, 8sstri 3973 . . . 4 {𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥))} ⊆ ℝ*
10 infxrgelb 12716 . . . 4 (({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥))} ⊆ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥))}, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑠 ∈ {𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥))}𝐴𝑠))
119, 10mpan 686 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥))}, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑠 ∈ {𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥))}𝐴𝑠))
12 breq2 5061 . . . 4 (𝑠 = 𝑟 → (𝐴𝑠𝐴𝑟))
1312ralrab2 3687 . . 3 (∀𝑠 ∈ {𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥))}𝐴𝑠 ↔ ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) → 𝐴𝑟))
1411, 13syl6bb 288 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ inf({𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∣ ∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥))}, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) → 𝐴𝑟)))
156, 14sylan9bb 510 1 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ (𝑁𝐹) ↔ ∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)(∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝑟 · (𝐿𝑥)) → 𝐴𝑟)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  {crab 3139  wss 3933   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  infcinf 8893  0cc0 10525   · cmul 10530  +∞cpnf 10660  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  [,)cico 12728  Basecbs 16471   GrpHom cghm 18293  normcnm 23113  NrmGrpcngp 23114   normOp cnmo 23241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-ico 12732  df-nmo 23244
This theorem is referenced by:  nmolb  23253  nmoge0  23257  nmoi  23264
  Copyright terms: Public domain W3C validator