Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmogtmnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmogtmnf 27486
 Description: The norm of an operator is greater than minus infinity. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoxr.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoxr.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoxr.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
Assertion
Ref Expression
nmogtmnf ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → -∞ < (𝑁𝑇))

Proof of Theorem nmogtmnf
StepHypRef Expression
1 nmoxr.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 nmoxr.2 . . . 4 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
3 nmoxr.3 . . . 4 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
41, 2, 3nmorepnf 27484 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ (𝑁𝑇) ≠ +∞))
5 df-ne 2791 . . 3 ((𝑁𝑇) ≠ +∞ ↔ ¬ (𝑁𝑇) = +∞)
64, 5syl6bb 276 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ ¬ (𝑁𝑇) = +∞))
7 xor3 372 . . 3 (¬ ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ (𝑁𝑇) = +∞) ↔ ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ ¬ (𝑁𝑇) = +∞))
8 nbior 904 . . 3 (¬ ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ (𝑁𝑇) = +∞) → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ∨ (𝑁𝑇) = +∞))
97, 8sylbir 225 . 2 (((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ ¬ (𝑁𝑇) = +∞) → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ∨ (𝑁𝑇) = +∞))
10 mnfltxr 11908 . 2 (((𝑁𝑇) ∈ ℝ ∨ (𝑁𝑇) = +∞) → -∞ < (𝑁𝑇))
116, 9, 103syl 18 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → -∞ < (𝑁𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   class class class wbr 4615  ⟶wf 5845  ‘cfv 5849  (class class class)co 6607  ℝcr 9882  +∞cpnf 10018  -∞cmnf 10019   < clt 10021  NrmCVeccnv 27300  BaseSetcba 27302   normOpOLD cnmoo 27457 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-map 7807  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-sup 8295  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-rp 11780  df-seq 12745  df-exp 12804  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-grpo 27208  df-gid 27209  df-ginv 27210  df-ablo 27260  df-vc 27275  df-nv 27308  df-va 27311  df-ba 27312  df-sm 27313  df-0v 27314  df-nmcv 27316  df-nmoo 27461 This theorem is referenced by:  nmobndi  27491  nmblore  27502  ubthlem3  27589
 Copyright terms: Public domain W3C validator