MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoid 22593
Description: The operator norm of the identity function on a nontrivial group. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoid.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑆)
nmoid.2 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoid.3 0 = (0g𝑆)
Assertion
Ref Expression
nmoid ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) = 1)

Proof of Theorem nmoid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoid.1 . . 3 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑆)
2 nmoid.2 . . 3 𝑉 = (Base‘𝑆)
3 eqid 2651 . . 3 (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
4 nmoid.3 . . 3 0 = (0g𝑆)
5 simpl 472 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
6 ngpgrp 22450 . . . . 5 (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
76adantr 480 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 𝑆 ∈ Grp)
82idghm 17722 . . . 4 (𝑆 ∈ Grp → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
97, 8syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆))
10 1red 10093 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 1 ∈ ℝ)
11 0le1 10589 . . . 4 0 ≤ 1
1211a1i 11 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 0 ≤ 1)
132, 3nmcl 22467 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
1413ad2ant2r 798 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
1514leidd 10632 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ≤ ((norm‘𝑆)‘𝑥))
16 fvresi 6480 . . . . . 6 (𝑥𝑉 → (( I ↾ 𝑉)‘𝑥) = 𝑥)
1716ad2antrl 764 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (( I ↾ 𝑉)‘𝑥) = 𝑥)
1817fveq2d 6233 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)) = ((norm‘𝑆)‘𝑥))
1914recnd 10106 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℂ)
2019mulid2d 10096 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = ((norm‘𝑆)‘𝑥))
2115, 18, 203brtr4d 4717 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)) ≤ (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
221, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 9, 10, 12, 21nmolb2d 22569 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ≤ 1)
23 pssnel 4072 . . . 4 ({ 0 } ⊊ 𝑉 → ∃𝑥(𝑥𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
2423adantl 481 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → ∃𝑥(𝑥𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
25 velsn 4226 . . . . . 6 (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
2625biimpri 218 . . . . 5 (𝑥 = 0𝑥 ∈ { 0 })
2726necon3bi 2849 . . . 4 𝑥 ∈ { 0 } → 𝑥0 )
2820, 18eqtr4d 2688 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)))
291nmocl 22571 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ*)
305, 5, 9, 29syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ*)
311nmoge0 22572 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) → 0 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
325, 5, 9, 31syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
33 xrrege0 12043 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∧ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ≤ 1)) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
3430, 10, 32, 22, 33syl22anc 1367 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
351isnghm2 22575 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑆 ∈ NrmGrp ∧ ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑆)) → (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ))
365, 5, 9, 35syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ↔ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ))
3734, 36mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆))
3837adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆))
39 simprl 809 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → 𝑥𝑉)
401, 2, 3, 3nmoi 22579 . . . . . . 7 ((( I ↾ 𝑉) ∈ (𝑆 NGHom 𝑆) ∧ 𝑥𝑉) → ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
4138, 39, 40syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((norm‘𝑆)‘(( I ↾ 𝑉)‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
4228, 41eqbrtrd 4707 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
43 1red 10093 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → 1 ∈ ℝ)
4434adantr 480 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ)
452, 3, 4nmrpcl 22471 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉𝑥0 ) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ+)
46453expb 1285 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ+)
4746adantlr 751 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ+)
4843, 44, 47lemul1d 11953 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ↔ (1 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) · ((norm‘𝑆)‘𝑥))))
4942, 48mpbird 247 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
5027, 49sylanr2 686 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) ∧ (𝑥𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 })) → 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
5124, 50exlimddv 1903 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))
52 1re 10077 . . . 4 1 ∈ ℝ
5352rexri 10135 . . 3 1 ∈ ℝ*
54 xrletri3 12023 . . 3 (((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) = 1 ↔ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))))
5530, 53, 54sylancl 695 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) = 1 ↔ ((𝑁‘( I ↾ 𝑉)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝑁‘( I ↾ 𝑉)))))
5622, 51, 55mpbir2and 977 1 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ { 0 } ⊊ 𝑉) → (𝑁‘( I ↾ 𝑉)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wpss 3608  {csn 4210   class class class wbr 4685   I cid 5052  cres 5145  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979  *cxr 10111  cle 10113  +crp 11870  Basecbs 15904  0gc0g 16147  Grpcgrp 17469   GrpHom cghm 17704  normcnm 22428  NrmGrpcngp 22429   normOp cnmo 22556   NGHom cnghm 22557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ico 12219  df-0g 16149  df-topgen 16151  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-ghm 17705  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-xms 22172  df-ms 22173  df-nm 22434  df-ngp 22435  df-nmo 22559  df-nghm 22560
This theorem is referenced by:  idnghm  22594
  Copyright terms: Public domain W3C validator