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Theorem nmoleub3 22965
Description: The operator norm is the supremum of the value of a linear operator on the closed unit sphere. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoleub2.l 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoleub2.m 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoleub2.g 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
nmoleub2.w 𝐾 = (Base‘𝐺)
nmoleub2.s (𝜑𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.t (𝜑𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub3.5 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
nmoleub3.6 (𝜑 → ℝ ⊆ 𝐾)
Assertion
Ref Expression
nmoleub3 (𝜑 → ((𝑁𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐿   𝑥,𝑁   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem nmoleub3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoleub2.n . 2 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2 nmoleub2.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑆)
3 nmoleub2.l . 2 𝐿 = (norm‘𝑆)
4 nmoleub2.m . 2 𝑀 = (norm‘𝑇)
5 nmoleub2.g . 2 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
6 nmoleub2.w . 2 𝐾 = (Base‘𝐺)
7 nmoleub2.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
8 nmoleub2.t . 2 (𝜑𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
9 nmoleub2.f . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
10 nmoleub2.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
11 nmoleub2.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
12 nmoleub3.5 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
1312adantr 480 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
149ad3antrrr 766 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
15 nmoleub3.6 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℝ ⊆ 𝐾)
1615ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ℝ ⊆ 𝐾)
1711ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
187elin1d 3835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 ∈ NrmMod)
1918ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑆 ∈ NrmMod)
20 nlmngp 22528 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ NrmGrp)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
22 simprl 809 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑦𝑉)
23 simprr 811 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑦 ≠ (0g𝑆))
24 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝑆) = (0g𝑆)
252, 3, 24nmrpcl 22471 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆)) → (𝐿𝑦) ∈ ℝ+)
2621, 22, 23, 25syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝐿𝑦) ∈ ℝ+)
2717, 26rpdivcld 11927 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ ℝ+)
2827rpred 11910 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ ℝ)
2916, 28sseldd 3637 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ 𝐾)
30 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑆)
31 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠𝑇) = ( ·𝑠𝑇)
325, 6, 2, 30, 31lmhmlin 19083 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ 𝐾𝑦𝑉) → (𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)) = ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑇)(𝐹𝑦)))
3314, 29, 22, 32syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)) = ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑇)(𝐹𝑦)))
3433fveq2d 6233 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) = (𝑀‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑇)(𝐹𝑦))))
358elin1d 3835 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ NrmMod)
3635ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑇 ∈ NrmMod)
37 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
385, 37lmhmsca 19078 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (Scalar‘𝑇) = 𝐺)
3914, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (Scalar‘𝑇) = 𝐺)
4039fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘𝐺))
4140, 6syl6eqr 2703 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (Base‘(Scalar‘𝑇)) = 𝐾)
4229, 41eleqtrrd 2733 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
43 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
442, 43lmhmf 19082 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
4514, 44syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
4645, 22ffvelrnd 6400 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝐹𝑦) ∈ (Base‘𝑇))
47 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝑇))
48 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (norm‘(Scalar‘𝑇)) = (norm‘(Scalar‘𝑇))
4943, 4, 31, 37, 47, 48nmvs 22527 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ NrmMod ∧ (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑇)(𝐹𝑦))) = (((norm‘(Scalar‘𝑇))‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) · (𝑀‘(𝐹𝑦))))
5036, 42, 46, 49syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑇)(𝐹𝑦))) = (((norm‘(Scalar‘𝑇))‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) · (𝑀‘(𝐹𝑦))))
5139fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (norm‘(Scalar‘𝑇)) = (norm‘𝐺))
5251fveq1d 6231 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘(Scalar‘𝑇))‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) = ((norm‘𝐺)‘(𝑅 / (𝐿𝑦))))
537elin2d 3836 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ ℂMod)
5453ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑆 ∈ ℂMod)
555, 6clmabs 22929 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℂMod ∧ (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ 𝐾) → (abs‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) = ((norm‘𝐺)‘(𝑅 / (𝐿𝑦))))
5654, 29, 55syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (abs‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) = ((norm‘𝐺)‘(𝑅 / (𝐿𝑦))))
5727rpge0d 11914 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 0 ≤ (𝑅 / (𝐿𝑦)))
5828, 57absidd 14205 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (abs‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) = (𝑅 / (𝐿𝑦)))
5956, 58eqtr3d 2687 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝐺)‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) = (𝑅 / (𝐿𝑦)))
6052, 59eqtrd 2685 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘(Scalar‘𝑇))‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) = (𝑅 / (𝐿𝑦)))
6160oveq1d 6705 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (((norm‘(Scalar‘𝑇))‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) · (𝑀‘(𝐹𝑦))) = ((𝑅 / (𝐿𝑦)) · (𝑀‘(𝐹𝑦))))
6234, 50, 613eqtrd 2689 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) = ((𝑅 / (𝐿𝑦)) · (𝑀‘(𝐹𝑦))))
6362oveq1d 6705 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) = (((𝑅 / (𝐿𝑦)) · (𝑀‘(𝐹𝑦))) / 𝑅))
6427rpcnd 11912 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ ℂ)
65 nlmngp 22528 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ NrmGrp)
6636, 65syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
6743, 4nmcl 22467 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝑦) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹𝑦)) ∈ ℝ)
6866, 46, 67syl2anc 694 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹𝑦)) ∈ ℝ)
6968recnd 10106 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹𝑦)) ∈ ℂ)
7017rpcnd 11912 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑅 ∈ ℂ)
7117rpne0d 11915 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑅 ≠ 0)
7264, 69, 70, 71divassd 10874 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (((𝑅 / (𝐿𝑦)) · (𝑀‘(𝐹𝑦))) / 𝑅) = ((𝑅 / (𝐿𝑦)) · ((𝑀‘(𝐹𝑦)) / 𝑅)))
7326rpcnd 11912 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝐿𝑦) ∈ ℂ)
7426rpne0d 11915 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝐿𝑦) ≠ 0)
7569, 70, 73, 71, 74dmdcand 10868 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((𝑅 / (𝐿𝑦)) · ((𝑀‘(𝐹𝑦)) / 𝑅)) = ((𝑀‘(𝐹𝑦)) / (𝐿𝑦)))
7663, 72, 753eqtrd 2689 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) = ((𝑀‘(𝐹𝑦)) / (𝐿𝑦)))
772, 5, 30, 6clmvscl 22934 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ ℂMod ∧ (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ 𝐾𝑦𝑉) → ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) ∈ 𝑉)
7854, 29, 22, 77syl3anc 1366 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) ∈ 𝑉)
79 simpllr 815 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
80 eqid 2651 . . . . . . . 8 (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
812, 3, 30, 5, 6, 80nmvs 22527 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ 𝐾𝑦𝑉) → (𝐿‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)) = (((norm‘𝐺)‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) · (𝐿𝑦)))
8219, 29, 22, 81syl3anc 1366 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝐿‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)) = (((norm‘𝐺)‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) · (𝐿𝑦)))
8359oveq1d 6705 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (((norm‘𝐺)‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) · (𝐿𝑦)) = ((𝑅 / (𝐿𝑦)) · (𝐿𝑦)))
8470, 73, 74divcan1d 10840 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((𝑅 / (𝐿𝑦)) · (𝐿𝑦)) = 𝑅)
8582, 83, 843eqtrd 2689 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝐿‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)) = 𝑅)
86 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) → (𝐿𝑥) = (𝐿‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)))
8786eqeq1d 2653 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) → ((𝐿𝑥) = 𝑅 ↔ (𝐿‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)) = 𝑅))
88 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)))
8988fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) = (𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))))
9089oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) = ((𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅))
9190breq1d 4695 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴 ↔ ((𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴))
9287, 91imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑥 = ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) → (((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) ↔ ((𝐿‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
9392rspcv 3336 . . . . 5 (((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) ∈ 𝑉 → (∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) → ((𝐿‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
9478, 79, 85, 93syl3c 66 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴)
9576, 94eqbrtrrd 4709 . . 3 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((𝑀‘(𝐹𝑦)) / (𝐿𝑦)) ≤ 𝐴)
96 simplr 807 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝐴 ∈ ℝ)
9768, 96, 26ledivmul2d 11964 . . 3 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (((𝑀‘(𝐹𝑦)) / (𝐿𝑦)) ≤ 𝐴 ↔ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))))
9895, 97mpbid 222 . 2 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦)))
9911adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑅 ∈ ℝ+)
10099rpred 11910 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑅 ∈ ℝ)
101100leidd 10632 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑅𝑅)
102 breq1 4688 . . 3 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝐿𝑥) ≤ 𝑅𝑅𝑅))
103101, 102syl5ibrcom 237 . 2 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝐿𝑥) = 𝑅 → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅))
1041, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 98, 103nmoleub2lem 22960 1 (𝜑 → ((𝑁𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  cin 3606  wss 3607   class class class wbr 4685  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974   · cmul 9979  *cxr 10111  cle 10113   / cdiv 10722  +crp 11870  abscabs 14018  Basecbs 15904  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  0gc0g 16147   LMHom clmhm 19067  normcnm 22428  NrmGrpcngp 22429  NrmModcnlm 22432   normOp cnmo 22556  ℂModcclm 22908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ico 12219  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-topgen 16151  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ring 18595  df-cring 18596  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lmhm 19070  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-xms 22172  df-ms 22173  df-nm 22434  df-ngp 22435  df-nlm 22438  df-nmo 22559  df-nghm 22560  df-clm 22909
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