Theorem nmoo0 28560

Description: The operator norm of the zero operator. (Contributed by NM, 27-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoo0.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmoo0.0	⊢ 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
nmoo0	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑁‘𝑍) = 0)

Proof of Theorem nmoo0

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2819	. . . . 5 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2		eqid 2819	. . . . 5 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
3		nmoo0.0	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
4	1, 2, 3	0oo 28558	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊))
5		eqid 2819	. . . . 5 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
6		eqid 2819	. . . . 5 ⊢ (normCV‘𝑊) = (normCV‘𝑊)
7		nmoo0.3	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
8	1, 2, 5, 6, 7	nmooval 28532	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑍:(BaseSet‘𝑈)⟶(BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘𝑍) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)))}, ℝ*, < ))
9	4, 8	mpd3an3 1455	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑁‘𝑍) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)))}, ℝ*, < ))
10		df-sn 4560	. . . . 5 ⊢ {0} = {𝑥 ∣ 𝑥 = 0}
11		eqid 2819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
12	1, 11	nvzcl 28403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (0vec‘𝑈) ∈ (BaseSet‘𝑈))
13	11, 5	nvz0 28437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈)) = 0)
14		0le1 11155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 1
15	13, 14	eqbrtrdi 5096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈)) ≤ 1)
16		fveq2 6663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (0vec‘𝑈) → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) = ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈)))
17	16	breq1d 5067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (0vec‘𝑈) → (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ↔ ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈)) ≤ 1))
18	17	rspcev 3621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0vec‘𝑈) ∈ (BaseSet‘𝑈) ∧ ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈)) ≤ 1) → ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1)
19	12, 15, 18	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1)
20	19	biantrurd 535	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥 = 0 ↔ (∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0)))
21	20	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑥 = 0 ↔ (∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0)))
22		eqid 2819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
23	1, 22, 3	0oval 28557	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑍‘𝑧) = (0vec‘𝑊))
24	23	3expa 1112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑍‘𝑧) = (0vec‘𝑊))
25	24	fveq2d 6667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)) = ((normCV‘𝑊)‘(0vec‘𝑊)))
26	22, 6	nvz0 28437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → ((normCV‘𝑊)‘(0vec‘𝑊)) = 0)
27	26	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((normCV‘𝑊)‘(0vec‘𝑊)) = 0)
28	25, 27	eqtrd 2854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)) = 0)
29	28	eqeq2d 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)) ↔ 𝑥 = 0))
30	29	anbi2d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) ∧ 𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → ((((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧))) ↔ (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0)))
31	30	rexbidva 3294	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧))) ↔ ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0)))
32		r19.41v 3345	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ (∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0))
33	31, 32	syl6rbb 290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → ((∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)))))
34	21, 33	bitrd 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑥 = 0 ↔ ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)))))
35	34	abbidv 2883	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → {𝑥 ∣ 𝑥 = 0} = {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)))})
36	10, 35	syl5req 2867	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → {𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)))} = {0})
37	36	supeq1d 8902	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → sup({𝑥 ∣ ∃𝑧 ∈ (BaseSet‘𝑈)(((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV‘𝑊)‘(𝑍‘𝑧)))}, ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < ))
38	9, 37	eqtrd 2854	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑁‘𝑍) = sup({0}, ℝ*, < ))
39		xrltso 12526	. . 3 ⊢ < Or ℝ*
40		0xr 10680	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
41		supsn 8928	. . 3 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
42	39, 40, 41	mp2an 690	. 2 ⊢ sup({0}, ℝ*, < ) = 0
43	38, 42	syl6eq 2870	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑁‘𝑍) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  {cab 2797  ∃wrex 3137  {csn 4559   class class class wbr 5057   Or wor 5466  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  supcsup 8896  0cc0 10529  1c1 10530  ℝ^*cxr 10666   < clt 10667   ≤ cle 10668  NrmCVeccnv 28353  BaseSetcba 28355  0_veccn0v 28357  norm_CVcnmcv 28359   normOp_OLD cnmoo 28510   0_op c0o 28512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13362  df-exp 13422  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-grpo 28262  df-gid 28263  df-ginv 28264  df-ablo 28314  df-vc 28328  df-nv 28361  df-va 28364  df-ba 28365  df-sm 28366  df-0v 28367  df-nmcv 28369  df-nmoo 28514  df-0o 28516

This theorem is referenced by:  0blo  28561  nmlno0lem  28562