MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmooge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmooge0 28471
Description: The norm of an operator is nonnegative. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoxr.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoxr.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoxr.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
Assertion
Ref Expression
nmooge0 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → 0 ≤ (𝑁𝑇))

Proof of Theorem nmooge0
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 10676 . . 3 0 ∈ ℝ*
21a1i 11 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → 0 ∈ ℝ*)
3 simp2 1129 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
4 nmoxr.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5 eqid 2818 . . . . . . . 8 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
64, 5nvzcl 28338 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ NrmCVec → (0vec𝑈) ∈ 𝑋)
7 ffvelrn 6841 . . . . . . 7 ((𝑇:𝑋𝑌 ∧ (0vec𝑈) ∈ 𝑋) → (𝑇‘(0vec𝑈)) ∈ 𝑌)
86, 7sylan2 592 . . . . . 6 ((𝑇:𝑋𝑌𝑈 ∈ NrmCVec) → (𝑇‘(0vec𝑈)) ∈ 𝑌)
98ancoms 459 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑇‘(0vec𝑈)) ∈ 𝑌)
1093adant2 1123 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑇‘(0vec𝑈)) ∈ 𝑌)
11 nmoxr.2 . . . . 5 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
12 eqid 2818 . . . . 5 (normCV𝑊) = (normCV𝑊)
1311, 12nvcl 28365 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘(0vec𝑈)) ∈ 𝑌) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ∈ ℝ)
143, 10, 13syl2anc 584 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ∈ ℝ)
1514rexrd 10679 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ∈ ℝ*)
16 nmoxr.3 . . 3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
174, 11, 16nmoxr 28470 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ*)
1811, 12nvge0 28377 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘(0vec𝑈)) ∈ 𝑌) → 0 ≤ ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))))
193, 10, 18syl2anc 584 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → 0 ≤ ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))))
2011, 12nmosetre 28468 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ)
21 ressxr 10673 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ*
2220, 21sstrdi 3976 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ*)
23 eqid 2818 . . . . . . 7 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
244, 5, 23nmosetn0 28469 . . . . . 6 (𝑈 ∈ NrmCVec → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))})
25 supxrub 12705 . . . . . 6 (({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ* ∧ ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))}) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
2622, 24, 25syl2an 595 . . . . 5 (((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
27263impa 1102 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌𝑈 ∈ NrmCVec) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
28273comr 1117 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
294, 11, 23, 12, 16nmooval 28467 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑁𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
3028, 29breqtrrd 5085 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ (𝑁𝑇))
312, 15, 17, 19, 30xrletrd 12543 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → 0 ≤ (𝑁𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  {cab 2796  wrex 3136  wss 3933   class class class wbr 5057  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  supcsup 8892  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  NrmCVeccnv 28288  BaseSetcba 28290  0veccn0v 28292  normCVcnmcv 28294   normOpOLD cnmoo 28445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-grpo 28197  df-gid 28198  df-ginv 28199  df-ablo 28249  df-vc 28263  df-nv 28296  df-va 28299  df-ba 28300  df-sm 28301  df-0v 28302  df-nmcv 28304  df-nmoo 28449
This theorem is referenced by:  nmlnogt0  28501  htthlem  28621
  Copyright terms: Public domain W3C validator