Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoolb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoolb 27472
 Description: A lower bound for an operator norm. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoolb.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoolb.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoolb.l 𝐿 = (normCV𝑈)
nmoolb.m 𝑀 = (normCV𝑊)
nmoolb.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
Assertion
Ref Expression
nmoolb (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) ∧ (𝐴𝑋 ∧ (𝐿𝐴) ≤ 1)) → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ≤ (𝑁𝑇))

Proof of Theorem nmoolb
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoolb.2 . . . . . 6 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
2 nmoolb.m . . . . . 6 𝑀 = (normCV𝑊)
31, 2nmosetre 27465 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))} ⊆ ℝ)
4 ressxr 10027 . . . . 5 ℝ ⊆ ℝ*
53, 4syl6ss 3595 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))} ⊆ ℝ*)
653adant1 1077 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))} ⊆ ℝ*)
7 fveq2 6148 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 → (𝐿𝑦) = (𝐿𝐴))
87breq1d 4623 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐿𝑦) ≤ 1 ↔ (𝐿𝐴) ≤ 1))
9 fveq2 6148 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐴 → (𝑇𝑦) = (𝑇𝐴))
109fveq2d 6152 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) = (𝑀‘(𝑇𝐴)))
1110eqeq2d 2631 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝑦)) ↔ (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝐴))))
128, 11anbi12d 746 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝑦))) ↔ ((𝐿𝐴) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝐴)))))
13 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝐴))
1413biantru 526 . . . . . 6 ((𝐿𝐴) ≤ 1 ↔ ((𝐿𝐴) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝐴))))
1512, 14syl6bbr 278 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝑦))) ↔ (𝐿𝐴) ≤ 1))
1615rspcev 3295 . . . 4 ((𝐴𝑋 ∧ (𝐿𝐴) ≤ 1) → ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝑦))))
17 fvex 6158 . . . . 5 (𝑀‘(𝑇𝐴)) ∈ V
18 eqeq1 2625 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝐴)) → (𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)) ↔ (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝑦))))
1918anbi2d 739 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝐴)) → (((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦))) ↔ ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
2019rexbidv 3045 . . . . 5 (𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝐴)) → (∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦))) ↔ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
2117, 20elab 3333 . . . 4 ((𝑀‘(𝑇𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))} ↔ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇𝑦))))
2216, 21sylibr 224 . . 3 ((𝐴𝑋 ∧ (𝐿𝐴) ≤ 1) → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))})
23 supxrub 12097 . . 3 (({𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))} ⊆ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝑇𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))}) → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ))
246, 22, 23syl2an 494 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) ∧ (𝐴𝑋 ∧ (𝐿𝐴) ≤ 1)) → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ))
25 nmoolb.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
26 nmoolb.l . . . 4 𝐿 = (normCV𝑈)
27 nmoolb.3 . . . 4 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
2825, 1, 26, 2, 27nmooval 27464 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑁𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ))
2928adantr 481 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) ∧ (𝐴𝑋 ∧ (𝐿𝐴) ≤ 1)) → (𝑁𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑀‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ))
3024, 29breqtrrd 4641 1 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) ∧ (𝐴𝑋 ∧ (𝐿𝐴) ≤ 1)) → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ≤ (𝑁𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  {cab 2607  ∃wrex 2908   ⊆ wss 3555   class class class wbr 4613  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  supcsup 8290  ℝcr 9879  1c1 9881  ℝ*cxr 10017   < clt 10018   ≤ cle 10019  NrmCVeccnv 27285  BaseSetcba 27287  normCVcnmcv 27291   normOpOLD cnmoo 27442 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-vc 27260  df-nv 27293  df-va 27296  df-ba 27297  df-sm 27298  df-0v 27299  df-nmcv 27301  df-nmoo 27446 This theorem is referenced by:  nmblolbii  27500
 Copyright terms: Public domain W3C validator