Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmop0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmop0 28691
 Description: The norm of the zero operator is zero. (Contributed by NM, 8-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmop0 (normop‘ 0hop ) = 0

Proof of Theorem nmop0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ho0f 28456 . . 3 0hop : ℋ⟶ ℋ
2 nmopval 28561 . . 3 ( 0hop : ℋ⟶ ℋ → (normop‘ 0hop ) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘( 0hop𝑦)))}, ℝ*, < ))
31, 2ax-mp 5 . 2 (normop‘ 0hop ) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘( 0hop𝑦)))}, ℝ*, < )
4 ho0val 28455 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℋ → ( 0hop𝑦) = 0)
54fveq2d 6152 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℋ → (norm‘( 0hop𝑦)) = (norm‘0))
6 norm0 27831 . . . . . . . . . 10 (norm‘0) = 0
75, 6syl6eq 2671 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℋ → (norm‘( 0hop𝑦)) = 0)
87eqeq2d 2631 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 = (norm‘( 0hop𝑦)) ↔ 𝑥 = 0))
98anbi2d 739 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℋ → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘( 0hop𝑦))) ↔ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0)))
109rexbiia 3033 . . . . . 6 (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘( 0hop𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0))
11 ax-hv0cl 27706 . . . . . . . 8 0 ∈ ℋ
12 0le1 10495 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
13 fveq2 6148 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 0 → (norm𝑦) = (norm‘0))
1413, 6syl6eq 2671 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0 → (norm𝑦) = 0)
1514breq1d 4623 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 → ((norm𝑦) ≤ 1 ↔ 0 ≤ 1))
1615rspcev 3295 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℋ ∧ 0 ≤ 1) → ∃𝑦 ∈ ℋ (norm𝑦) ≤ 1)
1711, 12, 16mp2an 707 . . . . . . 7 𝑦 ∈ ℋ (norm𝑦) ≤ 1
18 r19.41v 3081 . . . . . . 7 (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ (∃𝑦 ∈ ℋ (norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0))
1917, 18mpbiran 952 . . . . . 6 (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ 𝑥 = 0)
2010, 19bitri 264 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘( 0hop𝑦))) ↔ 𝑥 = 0)
2120abbii 2736 . . . 4 {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘( 0hop𝑦)))} = {𝑥𝑥 = 0}
22 df-sn 4149 . . . 4 {0} = {𝑥𝑥 = 0}
2321, 22eqtr4i 2646 . . 3 {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘( 0hop𝑦)))} = {0}
2423supeq1i 8297 . 2 sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘( 0hop𝑦)))}, ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
25 xrltso 11918 . . 3 < Or ℝ*
26 0xr 10030 . . 3 0 ∈ ℝ*
27 supsn 8322 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
2825, 26, 27mp2an 707 . 2 sup({0}, ℝ*, < ) = 0
293, 24, 283eqtri 2647 1 (normop‘ 0hop ) = 0
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  {cab 2607  ∃wrex 2908  {csn 4148   class class class wbr 4613   Or wor 4994  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  supcsup 8290  0cc0 9880  1c1 9881  ℝ*cxr 10017   < clt 10018   ≤ cle 10019   ℋchil 27622  normℎcno 27626  0ℎc0v 27627   0hop ch0o 27646  normopcnop 27648 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cc 9201  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960  ax-hilex 27702  ax-hfvadd 27703  ax-hvcom 27704  ax-hvass 27705  ax-hv0cl 27706  ax-hvaddid 27707  ax-hfvmul 27708  ax-hvmulid 27709  ax-hvmulass 27710  ax-hvdistr1 27711  ax-hvdistr2 27712  ax-hvmul0 27713  ax-hfi 27782  ax-his1 27785  ax-his2 27786  ax-his3 27787  ax-his4 27788  ax-hcompl 27905 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-lm 20943  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cfil 22961  df-cau 22962  df-cmet 22963  df-grpo 27193  df-gid 27194  df-ginv 27195  df-gdiv 27196  df-ablo 27245  df-vc 27260  df-nv 27293  df-va 27296  df-ba 27297  df-sm 27298  df-0v 27299  df-vs 27300  df-nmcv 27301  df-ims 27302  df-dip 27402  df-ssp 27423  df-ph 27514  df-cbn 27565  df-hnorm 27671  df-hba 27672  df-hvsub 27674  df-hlim 27675  df-hcau 27676  df-sh 27910  df-ch 27924  df-oc 27955  df-ch0 27956  df-shs 28013  df-pjh 28100  df-h0op 28453  df-nmop 28544 This theorem is referenced by:  nmop0h  28696  0bdop  28698  nmlnop0iALT  28700  pjbdlni  28854
 Copyright terms: Public domain W3C validator