HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopleid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmopleid 29299
Description: A nonzero, bounded Hermitian operator divided by its norm is less than or equal to the identity operator. (Contributed by NM, 12-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopleid ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ≠ 0hop ) → ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇) ≤op Iop )

Proof of Theorem nmopleid
StepHypRef Expression
1 hmoplin 29102 . . . . 5 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
2 nmlnopne0 29159 . . . . . 6 (𝑇 ∈ LinOp → ((normop𝑇) ≠ 0 ↔ 𝑇 ≠ 0hop ))
32biimpar 503 . . . . 5 ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑇 ≠ 0hop ) → (normop𝑇) ≠ 0)
41, 3sylan 489 . . . 4 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ≠ 0hop ) → (normop𝑇) ≠ 0)
54adantlr 753 . . 3 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0hop ) → (normop𝑇) ≠ 0)
6 rereccl 10927 . . . . . 6 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → (1 / (normop𝑇)) ∈ ℝ)
76adantll 752 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → (1 / (normop𝑇)) ∈ ℝ)
8 simpll 807 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → 𝑇 ∈ HrmOp)
9 idhmop 29142 . . . . . . 7 Iop ∈ HrmOp
10 hmopm 29181 . . . . . . 7 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ Iop ∈ HrmOp) → ((normop𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
119, 10mpan2 709 . . . . . 6 ((normop𝑇) ∈ ℝ → ((normop𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
1211ad2antlr 765 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((normop𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp)
13 simplr 809 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → (normop𝑇) ∈ ℝ)
14 hmopf 29034 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
15 nmopgt0 29072 . . . . . . . . . 10 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop𝑇) ≠ 0 ↔ 0 < (normop𝑇)))
1615biimpa 502 . . . . . . . . 9 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → 0 < (normop𝑇))
1714, 16sylan 489 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → 0 < (normop𝑇))
1817adantlr 753 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → 0 < (normop𝑇))
1913, 18recgt0d 11142 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → 0 < (1 / (normop𝑇)))
20 0re 10224 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
21 ltle 10310 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / (normop𝑇)) ∈ ℝ) → (0 < (1 / (normop𝑇)) → 0 ≤ (1 / (normop𝑇))))
2220, 6, 21sylancr 698 . . . . . . 7 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → (0 < (1 / (normop𝑇)) → 0 ≤ (1 / (normop𝑇))))
2322adantll 752 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → (0 < (1 / (normop𝑇)) → 0 ≤ (1 / (normop𝑇))))
2419, 23mpd 15 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → 0 ≤ (1 / (normop𝑇)))
25 leopnmid 29298 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) → 𝑇op ((normop𝑇) ·op Iop ))
2625adantr 472 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → 𝑇op ((normop𝑇) ·op Iop ))
27 leopmul2i 29295 . . . . 5 ((((1 / (normop𝑇)) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ ((normop𝑇) ·op Iop ) ∈ HrmOp) ∧ (0 ≤ (1 / (normop𝑇)) ∧ 𝑇op ((normop𝑇) ·op Iop ))) → ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇) ≤op ((1 / (normop𝑇)) ·op ((normop𝑇) ·op Iop )))
287, 8, 12, 24, 26, 27syl32anc 1481 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇) ≤op ((1 / (normop𝑇)) ·op ((normop𝑇) ·op Iop )))
29 recn 10210 . . . . . 6 ((normop𝑇) ∈ ℝ → (normop𝑇) ∈ ℂ)
30 reccl 10876 . . . . . . . . 9 (((normop𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → (1 / (normop𝑇)) ∈ ℂ)
31 simpl 474 . . . . . . . . 9 (((normop𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → (normop𝑇) ∈ ℂ)
32 hoif 28914 . . . . . . . . . . 11 Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ
33 f1of 6290 . . . . . . . . . . 11 ( Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ → Iop : ℋ⟶ ℋ)
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 Iop : ℋ⟶ ℋ
35 homulass 28962 . . . . . . . . . 10 (((1 / (normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ∈ ℂ ∧ Iop : ℋ⟶ ℋ) → (((1 / (normop𝑇)) · (normop𝑇)) ·op Iop ) = ((1 / (normop𝑇)) ·op ((normop𝑇) ·op Iop )))
3634, 35mp3an3 1554 . . . . . . . . 9 (((1 / (normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ∈ ℂ) → (((1 / (normop𝑇)) · (normop𝑇)) ·op Iop ) = ((1 / (normop𝑇)) ·op ((normop𝑇) ·op Iop )))
3730, 31, 36syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((normop𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → (((1 / (normop𝑇)) · (normop𝑇)) ·op Iop ) = ((1 / (normop𝑇)) ·op ((normop𝑇) ·op Iop )))
38 recid2 10884 . . . . . . . . 9 (((normop𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop𝑇)) · (normop𝑇)) = 1)
3938oveq1d 6820 . . . . . . . 8 (((normop𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → (((1 / (normop𝑇)) · (normop𝑇)) ·op Iop ) = (1 ·op Iop ))
4037, 39eqtr3d 2788 . . . . . . 7 (((normop𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop𝑇)) ·op ((normop𝑇) ·op Iop )) = (1 ·op Iop ))
41 homulid2 28960 . . . . . . . 8 ( Iop : ℋ⟶ ℋ → (1 ·op Iop ) = Iop )
4234, 41ax-mp 5 . . . . . . 7 (1 ·op Iop ) = Iop
4340, 42syl6eq 2802 . . . . . 6 (((normop𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop𝑇)) ·op ((normop𝑇) ·op Iop )) = Iop )
4429, 43sylan 489 . . . . 5 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop𝑇)) ·op ((normop𝑇) ·op Iop )) = Iop )
4544adantll 752 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop𝑇)) ·op ((normop𝑇) ·op Iop )) = Iop )
4628, 45breqtrd 4822 . . 3 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇) ≤op Iop )
475, 46syldan 488 . 2 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ) ∧ 𝑇 ≠ 0hop ) → ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇) ≤op Iop )
48473impa 1100 1 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ≠ 0hop ) → ((1 / (normop𝑇)) ·op 𝑇) ≤op Iop )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924   class class class wbr 4796  wf 6037  1-1-ontowf1o 6040  cfv 6041  (class class class)co 6805  cc 10118  cr 10119  0cc0 10120  1c1 10121   · cmul 10125   < clt 10258  cle 10259   / cdiv 10868  chil 28077   ·op chot 28097   0hop ch0o 28101   Iop chio 28102  normopcnop 28103  LinOpclo 28105  HrmOpcho 28108  op cleo 28116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cc 9441  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200  ax-hilex 28157  ax-hfvadd 28158  ax-hvcom 28159  ax-hvass 28160  ax-hv0cl 28161  ax-hvaddid 28162  ax-hfvmul 28163  ax-hvmulid 28164  ax-hvmulass 28165  ax-hvdistr1 28166  ax-hvdistr2 28167  ax-hvmul0 28168  ax-hfi 28237  ax-his1 28240  ax-his2 28241  ax-his3 28242  ax-his4 28243  ax-hcompl 28360
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-omul 7726  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-acn 8950  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-clim 14410  df-rlim 14411  df-sum 14608  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-rest 16277  df-topn 16278  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-topgen 16298  df-pt 16299  df-prds 16302  df-xrs 16356  df-qtop 16361  df-imas 16362  df-xps 16364  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-mulg 17734  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-fbas 19937  df-fg 19938  df-cnfld 19941  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cld 21017  df-ntr 21018  df-cls 21019  df-nei 21096  df-cn 21225  df-cnp 21226  df-lm 21227  df-t1 21312  df-haus 21313  df-tx 21559  df-hmeo 21752  df-fil 21843  df-fm 21935  df-flim 21936  df-flf 21937  df-xms 22318  df-ms 22319  df-tms 22320  df-cfil 23245  df-cau 23246  df-cmet 23247  df-grpo 27648  df-gid 27649  df-ginv 27650  df-gdiv 27651  df-ablo 27700  df-vc 27715  df-nv 27748  df-va 27751  df-ba 27752  df-sm 27753  df-0v 27754  df-vs 27755  df-nmcv 27756  df-ims 27757  df-dip 27857  df-ssp 27878  df-lno 27900  df-nmoo 27901  df-0o 27903  df-ph 27969  df-cbn 28020  df-hnorm 28126  df-hba 28127  df-hvsub 28129  df-hlim 28130  df-hcau 28131  df-sh 28365  df-ch 28379  df-oc 28410  df-ch0 28411  df-shs 28468  df-pjh 28555  df-hosum 28890  df-homul 28891  df-hodif 28892  df-h0op 28908  df-iop 28909  df-nmop 28999  df-lnop 29001  df-bdop 29002  df-hmop 29004  df-leop 29012
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator