Theorem nmopsetretALT 28568

Description: The set in the supremum of the operator norm definition df-nmop 28544 is a set of reals. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmopsetretALT	⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem nmopsetretALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 6313	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
2		normcl 27828	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇‘𝑦) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ)
4		eleq1 2686	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ))
5	3, 4	syl5ibr 236	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) → ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℝ))
6	5	impcom 446	. . . . 5 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	adantrl 751	. . . 4 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
8	7	exp31 629	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝑦 ∈ ℋ → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ)))
9	8	rexlimdv 3023	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ))
10	9	abssdv 3655	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  {cab 2607  ∃wrex 2908   ⊆ wss 3555   class class class wbr 4613  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  ℝcr 9879  1c1 9881   ≤ cle 10019   ℋchil 27622  norm_ℎcno 27626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-hv0cl 27706  ax-hvmul0 27713  ax-hfi 27782  ax-his1 27785  ax-his3 27787  ax-his4 27788

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-hnorm 27671

This theorem is referenced by:  nmopub  28613