Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmoptri2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoptri2i 28846
 Description: Triangle-type inequality for the norms of bounded linear operators. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoptri.1 𝑆 ∈ BndLinOp
nmoptri.2 𝑇 ∈ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmoptri2i ((normop𝑆) − (normop𝑇)) ≤ (normop‘(𝑆 +op 𝑇))

Proof of Theorem nmoptri2i
StepHypRef Expression
1 nmoptri.1 . . . . 5 𝑆 ∈ BndLinOp
2 nmoptri.2 . . . . 5 𝑇 ∈ BndLinOp
31, 2bdophsi 28843 . . . 4 (𝑆 +op 𝑇) ∈ BndLinOp
4 neg1cn 11084 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
52bdophmi 28779 . . . . 5 (-1 ∈ ℂ → (-1 ·op 𝑇) ∈ BndLinOp)
64, 5ax-mp 5 . . . 4 (-1 ·op 𝑇) ∈ BndLinOp
73, 6nmoptrii 28841 . . 3 (normop‘((𝑆 +op 𝑇) +op (-1 ·op 𝑇))) ≤ ((normop‘(𝑆 +op 𝑇)) + (normop‘(-1 ·op 𝑇)))
8 bdopf 28609 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
91, 8ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑆: ℋ⟶ ℋ
10 bdopf 28609 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
112, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑇: ℋ⟶ ℋ
129, 11hoaddcli 28515 . . . . . 6 (𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
1312, 11honegsubi 28543 . . . . 5 ((𝑆 +op 𝑇) +op (-1 ·op 𝑇)) = ((𝑆 +op 𝑇) −op 𝑇)
149, 11hopncani 28571 . . . . 5 ((𝑆 +op 𝑇) −op 𝑇) = 𝑆
1513, 14eqtri 2643 . . . 4 ((𝑆 +op 𝑇) +op (-1 ·op 𝑇)) = 𝑆
1615fveq2i 6161 . . 3 (normop‘((𝑆 +op 𝑇) +op (-1 ·op 𝑇))) = (normop𝑆)
1711nmopnegi 28712 . . . 4 (normop‘(-1 ·op 𝑇)) = (normop𝑇)
1817oveq2i 6626 . . 3 ((normop‘(𝑆 +op 𝑇)) + (normop‘(-1 ·op 𝑇))) = ((normop‘(𝑆 +op 𝑇)) + (normop𝑇))
197, 16, 183brtr3i 4652 . 2 (normop𝑆) ≤ ((normop‘(𝑆 +op 𝑇)) + (normop𝑇))
20 nmopre 28617 . . . 4 (𝑆 ∈ BndLinOp → (normop𝑆) ∈ ℝ)
211, 20ax-mp 5 . . 3 (normop𝑆) ∈ ℝ
22 nmopre 28617 . . . 4 (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop𝑇) ∈ ℝ)
232, 22ax-mp 5 . . 3 (normop𝑇) ∈ ℝ
24 nmopre 28617 . . . 4 ((𝑆 +op 𝑇) ∈ BndLinOp → (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ)
253, 24ax-mp 5 . . 3 (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ∈ ℝ
2621, 23, 25lesubaddi 10546 . 2 (((normop𝑆) − (normop𝑇)) ≤ (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ↔ (normop𝑆) ≤ ((normop‘(𝑆 +op 𝑇)) + (normop𝑇)))
2719, 26mpbir 221 1 ((normop𝑆) − (normop𝑇)) ≤ (normop‘(𝑆 +op 𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4623  ⟶wf 5853  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  ℂcc 9894  ℝcr 9895  1c1 9897   + caddc 9899   ≤ cle 10035   − cmin 10226  -cneg 10227   ℋchil 27664   +op chos 27683   ·op chot 27684   −op chod 27685  normopcnop 27690  BndLinOpcbo 27693 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cc 9217  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976  ax-hilex 27744  ax-hfvadd 27745  ax-hvcom 27746  ax-hvass 27747  ax-hv0cl 27748  ax-hvaddid 27749  ax-hfvmul 27750  ax-hvmulid 27751  ax-hvmulass 27752  ax-hvdistr1 27753  ax-hvdistr2 27754  ax-hvmul0 27755  ax-hfi 27824  ax-his1 27827  ax-his2 27828  ax-his3 27829  ax-his4 27830  ax-hcompl 27947 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-omul 7525  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-acn 8728  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-mulg 17481  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-nei 20842  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-lm 20973  df-haus 21059  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-fil 21590  df-fm 21682  df-flim 21683  df-flf 21684  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067  df-cfil 22993  df-cau 22994  df-cmet 22995  df-grpo 27235  df-gid 27236  df-ginv 27237  df-gdiv 27238  df-ablo 27287  df-vc 27302  df-nv 27335  df-va 27338  df-ba 27339  df-sm 27340  df-0v 27341  df-vs 27342  df-nmcv 27343  df-ims 27344  df-dip 27444  df-ssp 27465  df-ph 27556  df-cbn 27607  df-hnorm 27713  df-hba 27714  df-hvsub 27716  df-hlim 27717  df-hcau 27718  df-sh 27952  df-ch 27966  df-oc 27997  df-ch0 27998  df-shs 28055  df-pjh 28142  df-hosum 28477  df-homul 28478  df-hodif 28479  df-h0op 28495  df-nmop 28586  df-lnop 28588  df-bdop 28589 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator