HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmoptrii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoptrii 29081
Description: Triangle inequality for the norms of bounded linear operators. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoptri.1 𝑆 ∈ BndLinOp
nmoptri.2 𝑇 ∈ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmoptrii (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇))

Proof of Theorem nmoptrii
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoptri.1 . . . . 5 𝑆 ∈ BndLinOp
2 bdopf 28849 . . . . 5 (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 𝑆: ℋ⟶ ℋ
4 nmoptri.2 . . . . 5 𝑇 ∈ BndLinOp
5 bdopf 28849 . . . . 5 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
64, 5ax-mp 5 . . . 4 𝑇: ℋ⟶ ℋ
73, 6hoaddcli 28755 . . 3 (𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
8 nmopre 28857 . . . . . 6 (𝑆 ∈ BndLinOp → (normop𝑆) ∈ ℝ)
91, 8ax-mp 5 . . . . 5 (normop𝑆) ∈ ℝ
10 nmopre 28857 . . . . . 6 (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop𝑇) ∈ ℝ)
114, 10ax-mp 5 . . . . 5 (normop𝑇) ∈ ℝ
129, 11readdcli 10091 . . . 4 ((normop𝑆) + (normop𝑇)) ∈ ℝ
1312rexri 10135 . . 3 ((normop𝑆) + (normop𝑇)) ∈ ℝ*
14 nmopub 28895 . . 3 (((𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ((normop𝑆) + (normop𝑇)) ∈ ℝ*) → ((normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇)))))
157, 13, 14mp2an 708 . 2 ((normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇))))
163, 6hoscli 28749 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ)
17 normcl 28110 . . . . . 6 (((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ → (norm‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
1918adantr 480 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
203ffvelrni 6398 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑆𝑥) ∈ ℋ)
21 normcl 28110 . . . . . . 7 ((𝑆𝑥) ∈ ℋ → (norm‘(𝑆𝑥)) ∈ ℝ)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(𝑆𝑥)) ∈ ℝ)
236ffvelrni 6398 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
24 normcl 28110 . . . . . . 7 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
2622, 25readdcld 10107 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
2726adantr 480 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
2812a1i 11 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop𝑆) + (normop𝑇)) ∈ ℝ)
29 hosval 28727 . . . . . . . 8 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)))
303, 6, 29mp3an12 1454 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)))
3130fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) = (norm‘((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥))))
32 norm-ii 28123 . . . . . . 7 (((𝑆𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → (norm‘((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥))) ≤ ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))))
3320, 23, 32syl2anc 694 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥))) ≤ ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))))
3431, 33eqbrtrd 4707 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))))
3534adantr 480 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))))
36 nmoplb 28894 . . . . . 6 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑆𝑥)) ≤ (normop𝑆))
373, 36mp3an1 1451 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑆𝑥)) ≤ (normop𝑆))
38 nmoplb 28894 . . . . . 6 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇))
396, 38mp3an1 1451 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇))
40 le2add 10548 . . . . . . . 8 ((((norm‘(𝑆𝑥)) ∈ ℝ ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ((normop𝑆) ∈ ℝ ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ)) → (((norm‘(𝑆𝑥)) ≤ (normop𝑆) ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇)) → ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇))))
419, 11, 40mpanr12 721 . . . . . . 7 (((norm‘(𝑆𝑥)) ∈ ℝ ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ) → (((norm‘(𝑆𝑥)) ≤ (normop𝑆) ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇)) → ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇))))
4222, 25, 41syl2anc 694 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (((norm‘(𝑆𝑥)) ≤ (normop𝑆) ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇)) → ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇))))
4342adantr 480 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (((norm‘(𝑆𝑥)) ≤ (normop𝑆) ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇)) → ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇))))
4437, 39, 43mp2and 715 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇)))
4519, 27, 28, 35, 44letrd 10232 . . 3 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇)))
4645ex 449 . 2 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇))))
4715, 46mprgbir 2956 1 (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941   class class class wbr 4685  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977  *cxr 10111  cle 10113  chil 27904   + cva 27905  normcno 27908   +op chos 27923  normopcnop 27930  BndLinOpcbo 27933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvmulass 27992  ax-hvdistr1 27993  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his2 28068  ax-his3 28069  ax-his4 28070
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-nmcv 27583  df-hnorm 27953  df-hba 27954  df-hvsub 27956  df-hosum 28717  df-nmop 28826  df-lnop 28828  df-bdop 28829
This theorem is referenced by:  bdophsi  29083  nmoptri2i  29086  unierri  29091
  Copyright terms: Public domain W3C validator