MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmosetre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmosetre 27589
Description: The set in the supremum of the operator norm definition df-nmoo 27570 is a set of reals. (Contributed by NM, 13-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmosetre.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmosetre.4 𝑁 = (normCV𝑊)
Assertion
Ref Expression
nmosetre ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝑀𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑇   𝑥,𝑊,𝑧   𝑥,𝑋,𝑧   𝑥,𝑌,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)   𝑁(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem nmosetre
StepHypRef Expression
1 ffvelrn 6343 . . . . . . . . 9 ((𝑇:𝑋𝑌𝑧𝑋) → (𝑇𝑧) ∈ 𝑌)
2 nmosetre.2 . . . . . . . . . 10 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
3 nmosetre.4 . . . . . . . . . 10 𝑁 = (normCV𝑊)
42, 3nvcl 27486 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑧) ∈ 𝑌) → (𝑁‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
51, 4sylan2 491 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇:𝑋𝑌𝑧𝑋)) → (𝑁‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
65anassrs 679 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑁‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
7 eleq1 2687 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑧)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (𝑁‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ))
86, 7syl5ibr 236 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑧)) → (((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ))
98impcom 446 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑧))) → 𝑥 ∈ ℝ)
109adantrl 751 . . . 4 ((((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) ∧ 𝑧𝑋) ∧ ((𝑀𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑧)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
1110exp31 629 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑧𝑋 → (((𝑀𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑧))) → 𝑥 ∈ ℝ)))
1211rexlimdv 3026 . 2 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (∃𝑧𝑋 ((𝑀𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑧))) → 𝑥 ∈ ℝ))
1312abssdv 3668 1 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝑀𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  {cab 2606  wrex 2910  wss 3567   class class class wbr 4644  wf 5872  cfv 5876  cr 9920  1c1 9922  cle 10060  NrmCVeccnv 27409  BaseSetcba 27411  normCVcnmcv 27415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-vc 27384  df-nv 27417  df-va 27420  df-ba 27421  df-sm 27422  df-0v 27423  df-nmcv 27425
This theorem is referenced by:  nmoxr  27591  nmooge0  27592  nmorepnf  27593  nmoolb  27596  nmoubi  27597  nmlno0lem  27618  nmopsetretHIL  28693
  Copyright terms: Public domain W3C validator