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Theorem nmoub3i 27477
Description: An upper bound for an operator norm. (Contributed by NM, 12-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoubi.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoubi.l 𝐿 = (normCV𝑈)
nmoubi.m 𝑀 = (normCV𝑊)
nmoubi.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmoubi.u 𝑈 ∈ NrmCVec
nmoubi.w 𝑊 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmoub3i ((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥))) → (𝑁𝑇) ≤ (abs‘𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐿   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌   𝑥,𝑀   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem nmoub3i
StepHypRef Expression
1 nmoubi.u . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 ∈ NrmCVec
2 nmoubi.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 nmoubi.l . . . . . . . . . . . . . 14 𝐿 = (normCV𝑈)
42, 3nvcl 27365 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ)
51, 4mpan 705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑋 → (𝐿𝑥) ∈ ℝ)
6 remulcl 9965 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐿𝑥) ∈ ℝ) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ∈ ℝ)
75, 6sylan2 491 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ∈ ℝ)
87adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ∈ ℝ)
9 recn 9970 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
109abscld 14109 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
11 remulcl 9965 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐿𝑥) ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)) ∈ ℝ)
1210, 5, 11syl2an 494 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)) ∈ ℝ)
1312adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)) ∈ ℝ)
1410ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
15 simpl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
1610adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
172, 3nvge0 27377 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → 0 ≤ (𝐿𝑥))
181, 17mpan 705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑋 → 0 ≤ (𝐿𝑥))
195, 18jca 554 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑋 → ((𝐿𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐿𝑥)))
2019adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐿𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐿𝑥)))
21 leabs 13973 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
23 lemul1a 10821 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ((𝐿𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐿𝑥))) ∧ 𝐴 ≤ (abs‘𝐴)) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)))
2415, 16, 20, 22, 23syl31anc 1326 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)))
2524adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)))
265adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ)
27 1red 9999 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → 1 ∈ ℝ)
289absge0d 14117 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
3016, 29jca 554 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
3126, 27, 303jca 1240 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐿𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))))
32 lemul2a 10822 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐿𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · 1))
3331, 32sylan 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)) ≤ ((abs‘𝐴) · 1))
3410recnd 10012 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
3534mulid1d 10001 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) · 1) = (abs‘𝐴))
3635ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · 1) = (abs‘𝐴))
3733, 36breqtrd 4639 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (𝐿𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))
388, 13, 14, 25, 37letrd 10138 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))
3938adantlll 753 . . . . . . . 8 ((((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))
40 nmoubi.w . . . . . . . . . . . 12 𝑊 ∈ NrmCVec
41 ffvelrn 6313 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇:𝑋𝑌𝑥𝑋) → (𝑇𝑥) ∈ 𝑌)
42 nmoubi.y . . . . . . . . . . . . 13 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
43 nmoubi.m . . . . . . . . . . . . 13 𝑀 = (normCV𝑊)
4442, 43nvcl 27365 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑥) ∈ 𝑌) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
4540, 41, 44sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇:𝑋𝑌𝑥𝑋) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
4645adantlr 750 . . . . . . . . . 10 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
477adantll 749 . . . . . . . . . 10 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐴 · (𝐿𝑥)) ∈ ℝ)
4810ad2antlr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
49 letr 10075 . . . . . . . . . 10 (((𝑀‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · (𝐿𝑥)) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ) → (((𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) ∧ (𝐴 · (𝐿𝑥)) ≤ (abs‘𝐴)) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴)))
5046, 47, 48, 49syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) ∧ (𝐴 · (𝐿𝑥)) ≤ (abs‘𝐴)) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴)))
5150adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → (((𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) ∧ (𝐴 · (𝐿𝑥)) ≤ (abs‘𝐴)) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴)))
5239, 51mpan2d 709 . . . . . . 7 ((((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 1) → ((𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴)))
5352ex 450 . . . . . 6 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐿𝑥) ≤ 1 → ((𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))))
5453com23 86 . . . . 5 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → ((𝐿𝑥) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))))
5554ralimdva 2956 . . . 4 ((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝑋 (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → ∀𝑥𝑋 ((𝐿𝑥) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))))
5655imp 445 . . 3 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥))) → ∀𝑥𝑋 ((𝐿𝑥) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴)))
5710rexrd 10033 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ*)
58 nmoubi.3 . . . . . 6 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
592, 42, 3, 43, 58, 1, 40nmoubi 27476 . . . . 5 ((𝑇:𝑋𝑌 ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝑁𝑇) ≤ (abs‘𝐴) ↔ ∀𝑥𝑋 ((𝐿𝑥) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))))
6057, 59sylan2 491 . . . 4 ((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑇) ≤ (abs‘𝐴) ↔ ∀𝑥𝑋 ((𝐿𝑥) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))))
6160biimpar 502 . . 3 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝐿𝑥) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (abs‘𝐴))) → (𝑁𝑇) ≤ (abs‘𝐴))
6256, 61syldan 487 . 2 (((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥))) → (𝑁𝑇) ≤ (abs‘𝐴))
63623impa 1256 1 ((𝑇:𝑋𝑌𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑀‘(𝑇𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥))) → (𝑁𝑇) ≤ (abs‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907   class class class wbr 4613  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   · cmul 9885  *cxr 10017  cle 10019  abscabs 13908  NrmCVeccnv 27288  BaseSetcba 27290  normCVcnmcv 27294   normOpOLD cnmoo 27445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-grpo 27196  df-gid 27197  df-ginv 27198  df-ablo 27248  df-vc 27263  df-nv 27296  df-va 27299  df-ba 27300  df-sm 27301  df-0v 27302  df-nmcv 27304  df-nmoo 27449
This theorem is referenced by:  nmoub2i  27478  isblo3i  27505
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