Theorem nmounbseqi 28548

Description: An unbounded operator determines an unbounded sequence. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoubi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoubi.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoubi.l	⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
nmoubi.m	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
nmoubi.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmoubi.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
nmoubi.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmounbseqi	⊢ ((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ (𝑁‘𝑇) = +∞) → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1 ∧ 𝑘 < (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐿   𝑘,𝑌   𝑓,𝑀,𝑘   𝑇,𝑓,𝑘   𝑓,𝑋,𝑘   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑓,𝑘)   𝑁(𝑓)   𝑊(𝑓,𝑘)   𝑌(𝑓)

Proof of Theorem nmounbseqi

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoubi.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		nmoubi.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
3		nmoubi.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
4		nmoubi.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
5		nmoubi.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
6		nmoubi.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
7		nmoubi.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	nmounbi 28547	. . 3 ⊢ (𝑇:𝑋⟶𝑌 → ((𝑁‘𝑇) = +∞ ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑘 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))))
9	8	biimpa 479	. 2 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ (𝑁‘𝑇) = +∞) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑘 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦))))
10		nnre 11639	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
11	10	imim1i 63	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑘 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))) → (𝑘 ∈ ℕ → ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑘 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦)))))
12	11	ralimi2 3157	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑘 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦))) → ∀𝑘 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑘 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦))))
13	1	fvexi 6679	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ V
14		nnenom 13342	. . 3 ⊢ ℕ ≈ ω
15		fveq2 6665	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑘) → (𝐿‘𝑦) = (𝐿‘(𝑓‘𝑘)))
16	15	breq1d 5069	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑘) → ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ↔ (𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1))
17		2fveq3 6670	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑘) → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) = (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))))
18	17	breq2d 5071	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑘) → (𝑘 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ↔ 𝑘 < (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘)))))
19	16, 18	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑘) → (((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑘 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ((𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1 ∧ 𝑘 < (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))))))
20	13, 14, 19	axcc4 9855	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑘 < (𝑀‘(𝑇‘𝑦))) → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1 ∧ 𝑘 < (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))))))
21	9, 12, 20	3syl 18	1 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ (𝑁‘𝑇) = +∞) → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1 ∧ 𝑘 < (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533  ∃wex 1776   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   class class class wbr 5059  ⟶wf 6346  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  1c1 10532  +∞cpnf 10666   < clt 10669   ≤ cle 10670  ℕcn 11632  NrmCVeccnv 28355  BaseSetcba 28357  norm_CVcnmcv 28361   normOp_OLD cnmoo 28512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cc 9851  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-grpo 28264  df-gid 28265  df-ginv 28266  df-ablo 28316  df-vc 28330  df-nv 28363  df-va 28366  df-ba 28367  df-sm 28368  df-0v 28369  df-nmcv 28371  df-nmoo 28516

This theorem is referenced by: (None)