MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmparlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmparlem 23084
Description: Lemma for nmpar 23085. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmpar.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
nmpar.p + = (+g𝑊)
nmpar.m = (-g𝑊)
nmpar.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
nmpar.h , = (·𝑖𝑊)
nmpar.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nmpar.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
nmpar.1 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
nmpar.2 (𝜑𝐴𝑉)
nmpar.3 (𝜑𝐵𝑉)
Assertion
Ref Expression
nmparlem (𝜑 → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))))

Proof of Theorem nmparlem
StepHypRef Expression
1 nmpar.h . . . . 5 , = (·𝑖𝑊)
2 nmpar.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 nmpar.p . . . . 5 + = (+g𝑊)
4 nmpar.1 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
5 nmpar.2 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
6 nmpar.3 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑉)
71, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6cph2di 23053 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
8 nmpar.m . . . . 5 = (-g𝑊)
91, 2, 8, 4, 5, 6, 5, 6cph2subdi 23056 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) , (𝐴 𝐵)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) − ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
107, 9oveq12d 6708 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) + ((𝐴 𝐵) , (𝐴 𝐵))) = ((((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) − ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)))))
11 cphclm 23035 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
124, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ℂMod)
13 nmpar.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
14 nmpar.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝐹)
1513, 14clmsscn 22925 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
1612, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ⊆ ℂ)
17 cphphl 23017 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
184, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
1913, 1, 2, 14ipcl 20026 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐴𝑉) → (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2018, 5, 5, 19syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2113, 1, 2, 14ipcl 20026 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐵𝑉) → (𝐵 , 𝐵) ∈ 𝐾)
2218, 6, 6, 21syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 , 𝐵) ∈ 𝐾)
2313, 14clmacl 22930 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 , 𝐵) ∈ 𝐾) → ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) ∈ 𝐾)
2412, 20, 22, 23syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) ∈ 𝐾)
2516, 24sseldd 3637 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) ∈ ℂ)
2613, 1, 2, 14ipcl 20026 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾)
2718, 5, 6, 26syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾)
2813, 1, 2, 14ipcl 20026 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐴𝑉) → (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2918, 6, 5, 28syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾)
3013, 14clmacl 22930 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾) → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) ∈ 𝐾)
3112, 27, 29, 30syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) ∈ 𝐾)
3216, 31sseldd 3637 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) ∈ ℂ)
3325, 32, 25ppncand 10470 . . 3 (𝜑 → ((((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) − ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
3410, 33eqtrd 2685 . 2 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) + ((𝐴 𝐵) , (𝐴 𝐵))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
35 cphlmod 23020 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
364, 35syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
372, 3lmodvacl 18925 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
3836, 5, 6, 37syl3anc 1366 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
39 nmpar.n . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝑊)
402, 1, 39nmsq 23040 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
414, 38, 40syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
422, 8lmodvsubcl 18956 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 𝐵) ∈ 𝑉)
4336, 5, 6, 42syl3anc 1366 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝐵) ∈ 𝑉)
442, 1, 39nmsq 23040 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 𝐵) ∈ 𝑉) → ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2) = ((𝐴 𝐵) , (𝐴 𝐵)))
454, 43, 44syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2) = ((𝐴 𝐵) , (𝐴 𝐵)))
4641, 45oveq12d 6708 . 2 (𝜑 → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) = (((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) + ((𝐴 𝐵) , (𝐴 𝐵))))
472, 1, 39nmsq 23040 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((𝑁𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
484, 5, 47syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
492, 1, 39nmsq 23040 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵𝑉) → ((𝑁𝐵)↑2) = (𝐵 , 𝐵))
504, 6, 49syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝐵)↑2) = (𝐵 , 𝐵))
5148, 50oveq12d 6708 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
5251oveq2d 6706 . . 3 (𝜑 → (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))) = (2 · ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
53252timesd 11313 . . 3 (𝜑 → (2 · ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
5452, 53eqtrd 2685 . 2 (𝜑 → (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
5534, 46, 543eqtr4d 2695 1 (𝜑 → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  wss 3607  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972   + caddc 9977   · cmul 9979  cmin 10304  2c2 11108  cexp 12900  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  Scalarcsca 15991  ·𝑖cip 15993  -gcsg 17471  LModclmod 18911  PreHilcphl 20017  normcnm 22428  ℂModcclm 22908  ℂPreHilccph 23012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-rnghom 18763  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-staf 18893  df-srng 18894  df-lmod 18913  df-lmhm 19070  df-lvec 19151  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-cnfld 19795  df-phl 20019  df-nlm 22438  df-clm 22909  df-cph 23014
This theorem is referenced by:  nmpar  23085
  Copyright terms: Public domain W3C validator