MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmparlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmparlem 22941
Description: Lemma for nmpar 22942. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmpar.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
nmpar.p + = (+g𝑊)
nmpar.m = (-g𝑊)
nmpar.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
nmpar.h , = (·𝑖𝑊)
nmpar.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nmpar.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
nmpar.1 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
nmpar.2 (𝜑𝐴𝑉)
nmpar.3 (𝜑𝐵𝑉)
Assertion
Ref Expression
nmparlem (𝜑 → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))))

Proof of Theorem nmparlem
StepHypRef Expression
1 nmpar.h . . . . 5 , = (·𝑖𝑊)
2 nmpar.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 nmpar.p . . . . 5 + = (+g𝑊)
4 nmpar.1 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
5 nmpar.2 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
6 nmpar.3 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑉)
71, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6cph2di 22910 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
8 nmpar.m . . . . 5 = (-g𝑊)
91, 2, 8, 4, 5, 6, 5, 6cph2subdi 22913 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) , (𝐴 𝐵)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) − ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
107, 9oveq12d 6623 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) + ((𝐴 𝐵) , (𝐴 𝐵))) = ((((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) − ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)))))
11 cphclm 22892 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
124, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ℂMod)
13 nmpar.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
14 nmpar.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝐹)
1513, 14clmsscn 22782 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
1612, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ⊆ ℂ)
17 cphphl 22874 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
184, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
1913, 1, 2, 14ipcl 19892 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐴𝑉) → (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2018, 5, 5, 19syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2113, 1, 2, 14ipcl 19892 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐵𝑉) → (𝐵 , 𝐵) ∈ 𝐾)
2218, 6, 6, 21syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 , 𝐵) ∈ 𝐾)
2313, 14clmacl 22787 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 , 𝐵) ∈ 𝐾) → ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) ∈ 𝐾)
2412, 20, 22, 23syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) ∈ 𝐾)
2516, 24sseldd 3589 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) ∈ ℂ)
2613, 1, 2, 14ipcl 19892 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾)
2718, 5, 6, 26syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾)
2813, 1, 2, 14ipcl 19892 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐴𝑉) → (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2918, 6, 5, 28syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾)
3013, 14clmacl 22787 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾) → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) ∈ 𝐾)
3112, 27, 29, 30syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) ∈ 𝐾)
3216, 31sseldd 3589 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) ∈ ℂ)
3325, 32, 25ppncand 10377 . . 3 (𝜑 → ((((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) − ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
3410, 33eqtrd 2660 . 2 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) + ((𝐴 𝐵) , (𝐴 𝐵))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
35 cphlmod 22877 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
364, 35syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
372, 3lmodvacl 18793 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
3836, 5, 6, 37syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
39 nmpar.n . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝑊)
402, 1, 39nmsq 22897 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
414, 38, 40syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
422, 8lmodvsubcl 18824 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 𝐵) ∈ 𝑉)
4336, 5, 6, 42syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝐵) ∈ 𝑉)
442, 1, 39nmsq 22897 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 𝐵) ∈ 𝑉) → ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2) = ((𝐴 𝐵) , (𝐴 𝐵)))
454, 43, 44syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2) = ((𝐴 𝐵) , (𝐴 𝐵)))
4641, 45oveq12d 6623 . 2 (𝜑 → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) = (((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) + ((𝐴 𝐵) , (𝐴 𝐵))))
472, 1, 39nmsq 22897 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((𝑁𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
484, 5, 47syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
492, 1, 39nmsq 22897 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵𝑉) → ((𝑁𝐵)↑2) = (𝐵 , 𝐵))
504, 6, 49syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝐵)↑2) = (𝐵 , 𝐵))
5148, 50oveq12d 6623 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
5251oveq2d 6621 . . 3 (𝜑 → (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))) = (2 · ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
53252timesd 11220 . . 3 (𝜑 → (2 · ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
5452, 53eqtrd 2660 . 2 (𝜑 → (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
5534, 46, 543eqtr4d 2670 1 (𝜑 → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1992  wss 3560  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879   + caddc 9884   · cmul 9886  cmin 10211  2c2 11015  cexp 12797  Basecbs 15776  +gcplusg 15857  Scalarcsca 15860  ·𝑖cip 15862  -gcsg 17340  LModclmod 18779  PreHilcphl 19883  normcnm 22286  ℂModcclm 22765  ℂPreHilccph 22869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-tpos 7298  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-mhm 17251  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-sbg 17343  df-subg 17507  df-ghm 17574  df-cmn 18111  df-abl 18112  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-ring 18465  df-cring 18466  df-oppr 18539  df-dvdsr 18557  df-unit 18558  df-rnghom 18631  df-drng 18665  df-subrg 18694  df-staf 18761  df-srng 18762  df-lmod 18781  df-lmhm 18936  df-lvec 19017  df-sra 19086  df-rgmod 19087  df-cnfld 19661  df-phl 19885  df-nlm 22296  df-clm 22766  df-cph 22871
This theorem is referenced by:  nmpar  22942
  Copyright terms: Public domain W3C validator