Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmzsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmzsubg 17563
 Description: The normalizer NG(S) of a subset 𝑆 of the group is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elnmz.1 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)}
nmzsubg.2 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmzsubg.3 + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
nmzsubg (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nmzsubg
Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnmz.1 . . . 4 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)}
2 ssrab2 3671 . . . 4 {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)} ⊆ 𝑋
31, 2eqsstri 3619 . . 3 𝑁𝑋
43a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁𝑋)
5 nmzsubg.2 . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
6 eqid 2621 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
75, 6grpidcl 17378 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
8 nmzsubg.3 . . . . . . . 8 + = (+g𝐺)
95, 8, 6grplid 17380 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → ((0g𝐺) + 𝑧) = 𝑧)
105, 8, 6grprid 17381 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧 + (0g𝐺)) = 𝑧)
119, 10eqtr4d 2658 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → ((0g𝐺) + 𝑧) = (𝑧 + (0g𝐺)))
1211eleq1d 2683 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → (((0g𝐺) + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + (0g𝐺)) ∈ 𝑆))
1312ralrimiva 2961 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑧𝑋 (((0g𝐺) + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + (0g𝐺)) ∈ 𝑆))
141elnmz 17561 . . . 4 ((0g𝐺) ∈ 𝑁 ↔ ((0g𝐺) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (((0g𝐺) + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + (0g𝐺)) ∈ 𝑆)))
157, 13, 14sylanbrc 697 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝑁)
16 ne0i 3902 . . 3 ((0g𝐺) ∈ 𝑁𝑁 ≠ ∅)
1715, 16syl 17 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ≠ ∅)
18 id 22 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
193sseli 3583 . . . . . . . 8 (𝑧𝑁𝑧𝑋)
203sseli 3583 . . . . . . . 8 (𝑤𝑁𝑤𝑋)
215, 8grpcl 17358 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋𝑤𝑋) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑋)
2218, 19, 20, 21syl3an 1365 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑋)
23 simpl1 1062 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
24 simpl2 1063 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑧𝑁)
253, 24sseldi 3585 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑧𝑋)
26 simpl3 1064 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑤𝑁)
273, 26sseldi 3585 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑤𝑋)
28 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑢𝑋)
295, 8grpass 17359 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋𝑢𝑋)) → ((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) = (𝑧 + (𝑤 + 𝑢)))
3023, 25, 27, 28, 29syl13anc 1325 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) = (𝑧 + (𝑤 + 𝑢)))
3130eleq1d 2683 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + (𝑤 + 𝑢)) ∈ 𝑆))
325, 8grpcl 17358 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑤𝑋𝑢𝑋) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝑋)
3323, 27, 28, 32syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝑋)
341nmzbi 17562 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑁 ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝑋) → ((𝑧 + (𝑤 + 𝑢)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑤 + 𝑢) + 𝑧) ∈ 𝑆))
3524, 33, 34syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑧 + (𝑤 + 𝑢)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑤 + 𝑢) + 𝑧) ∈ 𝑆))
365, 8grpass 17359 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑤𝑋𝑢𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑤 + 𝑢) + 𝑧) = (𝑤 + (𝑢 + 𝑧)))
3723, 27, 28, 25, 36syl13anc 1325 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑤 + 𝑢) + 𝑧) = (𝑤 + (𝑢 + 𝑧)))
3837eleq1d 2683 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (((𝑤 + 𝑢) + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + (𝑢 + 𝑧)) ∈ 𝑆))
395, 8grpcl 17358 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢𝑋𝑧𝑋) → (𝑢 + 𝑧) ∈ 𝑋)
4023, 28, 25, 39syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑢 + 𝑧) ∈ 𝑋)
411nmzbi 17562 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤𝑁 ∧ (𝑢 + 𝑧) ∈ 𝑋) → ((𝑤 + (𝑢 + 𝑧)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) ∈ 𝑆))
4226, 40, 41syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑤 + (𝑢 + 𝑧)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) ∈ 𝑆))
4335, 38, 423bitrd 294 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑧 + (𝑤 + 𝑢)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) ∈ 𝑆))
445, 8grpass 17359 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢𝑋𝑧𝑋𝑤𝑋)) → ((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)))
4523, 28, 25, 27, 44syl13anc 1325 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)))
4645eleq1d 2683 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆))
4731, 43, 463bitrd 294 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆))
4847ralrimiva 2961 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) → ∀𝑢𝑋 (((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆))
491elnmz 17561 . . . . . . 7 ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁 ↔ ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢𝑋 (((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆)))
5022, 48, 49sylanbrc 697 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁)
51503expa 1262 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑤𝑁) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁)
5251ralrimiva 2961 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) → ∀𝑤𝑁 (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁)
53 eqid 2621 . . . . . . 7 (invg𝐺) = (invg𝐺)
545, 53grpinvcl 17395 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋)
5519, 54sylan2 491 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋)
56 simplr 791 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑧𝑁)
57 simpll 789 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
5855adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋)
59 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑢𝑋)
605, 8grpcl 17358 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢𝑋 ∧ ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋) → (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑋)
6157, 59, 58, 60syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑋)
625, 8grpcl 17358 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑋) → (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) ∈ 𝑋)
6357, 58, 61, 62syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) ∈ 𝑋)
641nmzbi 17562 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑁 ∧ (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) ∈ 𝑋) → ((𝑧 + (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))) ∈ 𝑆 ↔ ((((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) ∈ 𝑆))
6556, 63, 64syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑧 + (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))) ∈ 𝑆 ↔ ((((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) ∈ 𝑆))
663, 56sseldi 3585 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑧𝑋)
675, 8, 6, 53grprinv 17397 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧 + ((invg𝐺)‘𝑧)) = (0g𝐺))
6857, 66, 67syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑧 + ((invg𝐺)‘𝑧)) = (0g𝐺))
6968oveq1d 6625 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑧 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) = ((0g𝐺) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))))
705, 8grpass 17359 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑧𝑋 ∧ ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑋)) → ((𝑧 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) = (𝑧 + (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))))
7157, 66, 58, 61, 70syl13anc 1325 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑧 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) = (𝑧 + (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))))
725, 8, 6grplid 17380 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑋) → ((0g𝐺) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) = (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))
7357, 61, 72syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((0g𝐺) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) = (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))
7469, 71, 733eqtr3d 2663 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑧 + (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))) = (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))
7574eleq1d 2683 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑧 + (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
765, 8grpass 17359 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑋𝑧𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) = (((invg𝐺)‘𝑧) + ((𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + 𝑧)))
7757, 58, 61, 66, 76syl13anc 1325 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) = (((invg𝐺)‘𝑧) + ((𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + 𝑧)))
785, 8grpass 17359 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢𝑋 ∧ ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + 𝑧) = (𝑢 + (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑧)))
7957, 59, 58, 66, 78syl13anc 1325 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + 𝑧) = (𝑢 + (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑧)))
805, 8, 6, 53grplinv 17396 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑧) = (0g𝐺))
8157, 66, 80syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑧) = (0g𝐺))
8281oveq2d 6626 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑢 + (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑧)) = (𝑢 + (0g𝐺)))
835, 8, 6grprid 17381 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢𝑋) → (𝑢 + (0g𝐺)) = 𝑢)
8457, 59, 83syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑢 + (0g𝐺)) = 𝑢)
8579, 82, 843eqtrd 2659 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + 𝑧) = 𝑢)
8685oveq2d 6626 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (((invg𝐺)‘𝑧) + ((𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + 𝑧)) = (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑢))
8777, 86eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) = (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑢))
8887eleq1d 2683 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (((((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑢) ∈ 𝑆))
8965, 75, 883bitr3rd 299 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
9089ralrimiva 2961 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) → ∀𝑢𝑋 ((((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
911elnmz 17561 . . . . 5 (((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑁 ↔ (((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢𝑋 ((((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆)))
9255, 90, 91sylanbrc 697 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑁)
9352, 92jca 554 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) → (∀𝑤𝑁 (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁 ∧ ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑁))
9493ralrimiva 2961 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑧𝑁 (∀𝑤𝑁 (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁 ∧ ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑁))
955, 8, 53issubg2 17537 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑁𝑋𝑁 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑁 (∀𝑤𝑁 (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁 ∧ ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑁))))
964, 17, 94, 95mpbir3and 1243 1 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  {crab 2911   ⊆ wss 3559  ∅c0 3896  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  Basecbs 15788  +gcplusg 15869  0gc0g 16028  Grpcgrp 17350  invgcminusg 17351  SubGrpcsubg 17516 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-2 11030  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-0g 16030  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-grp 17353  df-minusg 17354  df-subg 17519 This theorem is referenced by:  nmznsg  17566  sylow3lem3  17972  sylow3lem4  17973  sylow3lem6  17975
 Copyright terms: Public domain W3C validator