MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0addcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0addcl 11175
Description: Closure of addition of nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0addcl ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcl
StepHypRef Expression
1 nnsscn 10872 . 2 ℕ ⊆ ℂ
2 id 22 . . 3 (ℕ ⊆ ℂ → ℕ ⊆ ℂ)
3 df-n0 11140 . . 3 0 = (ℕ ∪ {0})
4 nnaddcl 10889 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
54adantl 480 . . 3 ((ℕ ⊆ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
62, 3, 5un0addcl 11173 . 2 ((ℕ ⊆ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
71, 6mpan 701 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1976  wss 3539  (class class class)co 6527  cc 9790   + caddc 9795  cn 10867  0cn0 11139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-ltxr 9935  df-nn 10868  df-n0 11140
This theorem is referenced by:  nn0addcli  11177  peano2nn0  11180  nn0addcld  11202  nn0readdcl  11204  difelfznle  12277  elfzodifsumelfzo  12356  modsumfzodifsn  12560  expadd  12719  faclbnd4lem3  12899  faclbnd5  12902  faclbnd6  12903  facavg  12905  ccatlen  13159  ccatalpha  13174  swrdswrdlem  13257  swrdswrd  13258  swrdccatin1  13280  swrdccatin12lem3  13287  swrdccatid  13294  splfv2a  13304  repswswrd  13328  repswccat  13329  cshwcsh2id  13371  fsumnn0cl  14260  bcxmas  14352  nn0risefaccl  14538  eftlub  14624  4sqlem1  15436  psgnunilem2  17684  sylow1lem1  17782  psrbagaddcl  19137  nn0subm  19566  expmhm  19580  dvnadd  23415  ply1divex  23617  coemullem  23727  coemulhi  23731  plymul0or  23757  chtublem  24653  2sqlem7  24866  vdgrf  26191  numclwwlk2lem1  26395  fmtnofac2lem  39823  xnn0xaddcl  40215  crctcsh1wlkn0lem4  41018  ply1mulgsumlem1  41970
  Copyright terms: Public domain W3C validator