MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0addcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0addcld 11299
Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0red.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
nn0addcld (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcld
StepHypRef Expression
1 nn0red.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
2 nn0addcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
3 nn0addcl 11272 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
41, 2, 3syl2anc 692 1 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987  (class class class)co 6604   + caddc 9883  0cn0 11236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-ltxr 10023  df-nn 10965  df-n0 11237
This theorem is referenced by:  expaddz  12844  bccl  13049  ccatrn  13311  swrdccat2  13396  splval2  13445  relexpaddg  13727  rtrclreclem3  13734  mertenslem1  14541  bitsmod  15082  bitsinv1lem  15087  sadcaddlem  15103  sadadd2lem  15105  sadadd  15113  sadass  15117  smupp1  15126  smumul  15139  pcpremul  15472  gzabssqcl  15569  mul4sq  15582  4sqlem12  15584  4sqlem14  15586  4sqlem16  15588  sylow1lem1  17934  efgcpbllemb  18089  coe1tmmul2fv  19567  coe1pwmulfv  19569  chfacfscmulgsum  20584  chfacfpmmulfsupp  20587  chfacfpmmulgsum  20588  cpmadugsumlemF  20600  mdegmullem  23742  coe1mul3  23763  deg1mul2  23778  ply1domn  23787  ply1divex  23800  plymullem  23876  coeeulem  23884  dgrmul  23930  dvntaylp  24029  taylthlem2  24032  dmgmaddnn0  24653  mumullem2  24806  lgseisenlem2  25001  2sqlem8  25051  vtxdgfisnn0  26257  crctcshwlkn0lem5  26575  crctcshwlkn0  26582  eucrctshift  26969  omndmul2  29497  madjusmdetlem4  29678  oddpwdc  30197  iwrdsplit  30230  fiblem  30241  fibp1  30244  signshlen  30447  subfacp1lem6  30875  faclim2  31342  mon1psubm  37265  itgpowd  37281  radcnvrat  37995  binomcxplemnn0  38030  binomcxplemfrat  38032  itgsinexp  39477  wallispilem5  39593  wallispi2lem2  39596  stirlinglem5  39602  stirlinglem7  39604  fourierdlem48  39678  elaa2lem  39757  etransclem32  39790  etransclem46  39804  sqrtpwpw2p  40749  fmtnofac2lem  40779  fmtnofac2  40780  dignn0flhalflem2  41702
  Copyright terms: Public domain W3C validator