Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0archi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0archi 29971
 Description: The monoid of the nonnegative integers is Archimedean. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0archi (ℂflds0) ∈ Archi

Proof of Theorem nn0archi
StepHypRef Expression
1 df-refld 19999 . . . 4 fld = (ℂflds ℝ)
21oveq1i 6700 . . 3 (ℝflds0) = ((ℂflds ℝ) ↾s0)
3 resubdrg 20002 . . . . 5 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
43simpli 473 . . . 4 ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
5 nn0ssre 11334 . . . 4 0 ⊆ ℝ
6 ressabs 15986 . . . 4 ((ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℕ0 ⊆ ℝ) → ((ℂflds ℝ) ↾s0) = (ℂflds0))
74, 5, 6mp2an 708 . . 3 ((ℂflds ℝ) ↾s0) = (ℂflds0)
82, 7eqtri 2673 . 2 (ℝflds0) = (ℂflds0)
9 retos 20012 . . . 4 fld ∈ Toset
10 rearchi 29970 . . . 4 fld ∈ Archi
119, 10pm3.2i 470 . . 3 (ℝfld ∈ Toset ∧ ℝfld ∈ Archi)
12 nn0subm 19849 . . . 4 0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
13 subrgsubg 18834 . . . . . 6 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
14 subgsubm 17663 . . . . . 6 (ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
154, 13, 14mp2b 10 . . . . 5 ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld)
161subsubm 17404 . . . . 5 (ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℝfld) ↔ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) ∧ ℕ0 ⊆ ℝ)))
1715, 16ax-mp 5 . . . 4 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℝfld) ↔ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) ∧ ℕ0 ⊆ ℝ))
1812, 5, 17mpbir2an 975 . . 3 0 ∈ (SubMnd‘ℝfld)
19 submarchi 29868 . . 3 (((ℝfld ∈ Toset ∧ ℝfld ∈ Archi) ∧ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℝfld)) → (ℝflds0) ∈ Archi)
2011, 18, 19mp2an 708 . 2 (ℝflds0) ∈ Archi
218, 20eqeltrri 2727 1 (ℂflds0) ∈ Archi
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ⊆ wss 3607  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  ℕ0cn0 11330   ↾s cress 15905  Tosetctos 17080  SubMndcsubmnd 17381  SubGrpcsubg 17635  DivRingcdr 18795  SubRingcsubrg 18824  ℂfldccnfld 19794  ℝfldcrefld 19998  Archicarchi 29859 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-seq 12842  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-toset 17081  df-ps 17247  df-tsr 17248  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-rnghom 18763  df-drng 18797  df-field 18798  df-subrg 18826  df-cnfld 19795  df-zring 19867  df-zrh 19900  df-refld 19999  df-omnd 29827  df-ogrp 29828  df-inftm 29860  df-archi 29861  df-orng 29925  df-ofld 29926 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator